Bestimme y(x) nebs Anfangsb. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Brokando |
| Aufgabe | (a) Man bestimme eine Funktion y (x ) , die der folgenden Differentialgleichung nebst
Anfangsbedingung genügt:
[mm] x^{2} [/mm] * y' = [mm] y^{2} [/mm] und y(1) = 1/2
(b) Man bestimme eine Funktion y (x ) , die den folgenden Bedingungen genügt:
y'' = 2 und y (0) = 1; y (2) = 1
Zu (b): Falls man (was keineswegs nötig ist) diese Aufgabe als
Differentialgleichungsproblem behandelt, so findet man eine spezielle Lösung y0 der
inhomogenen Differentialgleichung (IDGL) mit dem Ansatz y0(x) = [mm] a*x^2 [/mm] |
Hallo,
leider habe ich nur das Ergebnis dieser Aufgabe und ich weiß einfach nicht genau, was ich machen soll..
ich habe bei a) nach y' umgestellt:
y' = [mm] x^2/y^2
[/mm]
danach muss man integrieren oder?
Eigentlich weiß ich hier schon nicht weiter..
Kann mir jemand helfen?
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Mi 12.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> (a) Man bestimme eine Funktion y (x ) , die der folgenden
> Differentialgleichung nebst
> Anfangsbedingung genügt:
> [mm]x^{2}[/mm] * y' = [mm]y^{2}[/mm] und y(1) = 1/2
>
> (b) Man bestimme eine Funktion y (x ) , die den folgenden
> Bedingungen genügt:
> y'' = 2 und y (0) = 1; y (2) = 1
>
> Zu (b): Falls man (was keineswegs nötig ist) diese Aufgabe
> als
> Differentialgleichungsproblem behandelt, so findet man
> eine spezielle Lösung y0 der
> inhomogenen Differentialgleichung (IDGL) mit dem Ansatz
> y0(x) = [mm]a*x^2[/mm]
> Hallo,
>
> leider habe ich nur das Ergebnis dieser Aufgabe und ich
> weiß einfach nicht genau, was ich machen soll..
>
> ich habe bei a) nach y' umgestellt:
>
> y' = [mm]x^2/y^2[/mm]
>
> danach muss man integrieren oder?
> Eigentlich weiß ich hier schon nicht weiter..
>
> Kann mir jemand helfen?
Tipp: Trennung der Variablen.
FRED
>
> Viele Grüße,
>
> Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Brokando |
Ok, das war ein guter Tipp :)
also:
y' = [mm] \bruch{x^{2}}{y^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}}{y^{2}}
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] dx = [mm] y^{2} [/mm] dy
[mm] \integral_{}^{}{x^{2} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{y^{2} dy}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3} \* x^3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \* y^3
[/mm]
Bis hierhin richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Mi 12.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, das war ein guter Tipp :)
>
> also:
>
> y' = [mm]\bruch{x^{2}}{y^{2}}[/mm]
Nein. Sondern y' = [mm]\bruch{y^{2}}{x^{2}}[/mm]
Das hatte ich oben leider übersehen.
FRED
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{x^{2}}{y^{2}}[/mm]
>
> [mm]x^{2}[/mm] dx = [mm]y^{2}[/mm] dy
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{x^{2} dx}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{y^{2} dy}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3} \* x^3[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} \* y^3[/mm]
>
> Bis hierhin richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Brokando |
Ja.. jetzt macht das auch sinn warum meine Lösung nicht zu der des Profs gepasst hat :( oh mann..
y' = [mm] \bruch{y^{2}}{x^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm]\bruch{y^{2}}{x^{2}}[/mm]
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{dx}}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{\bruch{y^{2}}{dy}}[/mm]
oder
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x^{2}}}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y^{2}}}[/mm]
?
gibt es da ne Regel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Mi 12.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja.. jetzt macht das auch sinn warum meine Lösung nicht zu
> der des Profs gepasst hat :( oh mann..
>
>
> y' = [mm]\bruch{y^{2}}{x^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{y^{2}}{x^{2}}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{dx}}[/mm] =
Das ist ja grausam .......
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{y^{2}}{dy}}[/mm]
Das ist ja grausam .......
>
> oder
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x^{2}}}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y^{2}}}[/mm]
Schon besser.
>
> ?
>
> gibt es da ne Regel?
Ja:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunktionen
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Brokando |
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x^{2}}}[/mm] =
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y^{2}}}[/mm]
>
> Schon besser.
> >
> > ?
> >
> > gibt es da ne Regel?
>
> Ja:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunktionen
Ich meinte eigentlich, warum dx und dy im Zähler stehen müssen..
es ist doch eigentlich möglich das:
$ [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{y^{2}}{x^{2}} [/mm] $
mal [mm] x^2 [/mm] und durch dy zu rechnen und man kommt auf
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{dx}} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{y^{2}}{dy}}
[/mm]
Oder bin ich da einfach gerade nur verwirrt? :P
Den Rest der Aufgabe mit dem Wissen, dass
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{g(x)}}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y^{2}}}[/mm]
stimmt, würde ich so lösen:
[mm] \bruch{-1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{y}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{y}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + C
y(1) = 1/2 [mm] \Rightarrow \bruch{1}{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] + C
[mm] \Rightarrow [/mm] C=1
[mm] \Rightarrow y=\bruch{1}{\bruch{1}{x} + 1}
[/mm]
VIELEN DANK schon mal bisher.. das hat mir wirklich weitergeholfen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Mi 12.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> > >
> > > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x^{2}}}[/mm] =
> > > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y^{2}}}[/mm]
> >
> > Schon besser.
> > >
> > > ?
> > >
> > > gibt es da ne Regel?
> >
> > Ja:
> >
> >
> http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunktionen
>
> Ich meinte eigentlich, warum dx und dy im Zähler stehen
> müssen..
>
> es ist doch eigentlich möglich das:
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{y^{2}}{x^{2}}[/mm]
>
> mal [mm]x^2[/mm] und durch dy zu rechnen und man kommt auf
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{dx}}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{y^{2}}{dy}}[/mm]
>
> Oder bin ich da einfach gerade nur verwirrt? :P
>
>
>
> Den Rest der Aufgabe mit dem Wissen, dass
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{g(x)}}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y^{2}}}[/mm]
>
> stimmt, würde ich so lösen:
>
> [mm]\bruch{-1}{x}[/mm] = [mm]\bruch{-1}{y}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{y}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + C
>
> y(1) = 1/2 [mm]\Rightarrow \bruch{1}{1/2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1}[/mm] + C
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] C=1
>
> [mm]\Rightarrow y=\bruch{1}{\bruch{1}{x} + 1}[/mm]
Stimmt
FRED
>
>
> VIELEN DANK schon mal bisher.. das hat mir wirklich
> weitergeholfen
>
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> (a) Man bestimme eine Funktion y (x ) , die der folgenden
> Differentialgleichung nebst
> Anfangsbedingung genügt:
> [mm]x^{2}[/mm] * y' = [mm]y^{2}[/mm] und y(1) = 1/2
>
> (b) Man bestimme eine Funktion y (x ) , die den folgenden
> Bedingungen genügt:
> y'' = 2 und y (0) = 1; y (2) = 1
>
> Zu (b): Falls man (was keineswegs nötig ist) diese Aufgabe
> als
> Differentialgleichungsproblem behandelt, so findet man
> eine spezielle Lösung y0 der
> inhomogenen Differentialgleichung (IDGL) mit dem Ansatz
> y0(x) = [mm]a*x^2[/mm]
> Hallo,
>
> leider habe ich nur das Ergebnis dieser Aufgabe und ich
> weiß einfach nicht genau, was ich machen soll..
>
> ich habe bei a) nach y' umgestellt:
>
> y' = [mm]x^2/y^2[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es ist y' = [mm]y^2/x^2[/mm]
>
> danach muss man integrieren oder?
> Eigentlich weiß ich hier schon nicht weiter..
Ja. Und das geht (hier, aber nicht immer) so:
y' [mm] =\bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm]y^2/x^2[/mm]
und [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] fasst du nun als Bruch auf (DAS IST DER ALLEINIGE GRUND, WESHALB MAN DAS SO SCHREIBT!)
Den formst du so um, dass "alles mit y" auf eine und "alles mit x" auf die andere Seite kommt (und das geht eben nicht immer).
[mm] \bruch{dy}{y^2} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{x^2} [/mm]
Jetzt integrierst du links und rechts. Vergiss nicht die Integrationskonstante C (reicht auf einer Seite der Gleichung - warum?)
Zu b) Du integrierst y''=2 zwei mal und fügst jedesmal eine Integrationskonstante hinzu. Dann erhältst du eine quadratische Funktion, und die passt du nun durch die richtige Festlegung der Integrationskonstanten so an, dass die beiden anderen Bedingungen erfüllt werden (Parameteraufgabe).
>
> Kann mir jemand helfen?
>
> Viele Grüße,
>
> Marcel
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Sorry, dein und Freds zweiter Beitrag waren bei mir noch nicht im Rechner, mein Beitrag ist somit überflüssig.
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