Bestimmen einer Lösung einer Differentialgleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Sa 16.10.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo zusammen!
Also ich habe mal wieder eine Frage. Es geht hier um Differentialgleichungen (DG):
a) [mm]x^2+y-xy'=0 [/mm]
b)[mm]x(y^2-1)+y(x^2-1)y'=0[/mm]
Aufgabenstellung:
Lösen sie die folgenden DG, dh. finden sie zu jeder Gleichung für jedes zuläassige Paar [mm] (x_0, y_0) [/mm] eine Lösung [mm]\varphi :I \rightarrow \IR [/mm] mit [mm]\varphi (x_0)=y_0[/mm] und geben sie für jede Lösung das maximale Lösungsintervall an!
Für a) habe ich eine Lösung, jedoch bin ich davon noch nicht so ganz überzeugt, denn ich teile durch x. Ich glaube, dass das nicht so ganz korrekt ist.
Meine Lösung wäre:
[mm] x^2+ \varphi (x) -x* \varphi '(x)=0 \gdw \varphi '(x) = x+\bruch{1}{x}*\varphie (x) , x \ne 0 [/mm]
Dann wäre meine Lösung:
[mm]\Rightarrow \gamma(x)= \bruch{xy_0}{x_0} +x^2-xx_0 [/mm]
Mein maximales Lösungsiintervallwäre dann [mm]I=(0\infty) [/mm],da [mm]x \ne 0[/mm] und wegen ln(x) [mm]x,x_0>0[/mm]
Könntet ihr mal drüberschauen ob es doch richtig ist, wenn nein, wäre ich für andere Vorschläge offen.
Bei b) habe ich noch keone Idee. Hättet ihr vielleicht einen Tipp für mich?
Danke schon im Vorraus
bis denne
Jessica.
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Hallo Jessica!
> a) [mm][mm]x^2+y-xy'=0 [/mm]
Zum a) Teil kan ich Dir zustimmen.
Ich habe diese Aufgabe auch gerechnet und bin zum selben Ergebnis gekommen.
Da Dein maximales Existenzintervall ja [mm](0,\infty)[/mm] ist, ist eine Divison durch 0 erlaubt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Zum anderen Teil der Aufgabe habe ich leider auch noch nichts.
Diese scheint etwas kniffliger zu sein!
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:10 So 17.10.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Jessica!
Der a) Teil ist erledigt.
Da aber Teil b) noch offen ist, und ich nicht weiss, wie man den Status der Frage auf noch nicht ganz berabeitet setzt, solltest Du den b) Teil erneut fragen, damit Du ncoh eine Antwort erhälst!
Gruss,
Wurzelpi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 So 17.10.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo ihr beiden,
ich habe auch etwas über die Aufgaben nachgedacht, leider kann ich mich an eine Kleinigkeit im Moment nicht erinnern:
Hatten wir definiert [mm] $\int \bruch{1}{t}dt [/mm] = ln(x)$ oder [mm] $\int \bruch{1}{t}dt [/mm] = ln(|x|)$?
Würden wir zweiteres definiert haben, würde man sehen, dass das maximale Existenzintervall vom AWP abhängt, ist nämlich [mm] $x_0 [/mm] < 0$, so existieren Lösungen nur auf [mm] $(-\infty,0)$, [/mm] andersherum für [mm] $x_0 [/mm] > 0$ auf [mm] $(0,\infty)$.
[/mm]
Die Vorzeichen von $x$ und [mm] $x_0$ [/mm] müssen also gleich sein, da sonst der undefinierte "Bereich" [mm] $x_{krit}=0$ [/mm] überstrichen wird und das AWP im Existenzintervall liegen muss.
Die Lösungsfunktion würde dann (eigentlich) lauten:
$y = [mm] sgn(x)*sgn(x_0)*(x^2 [/mm] + [mm] x*(\bruch{y_0}{x_0} [/mm] - [mm] x_0))$
[/mm]
und mit obiger Einschränkung wieder
$y = [mm] x^2 [/mm] + [mm] x*(\bruch{y_0}{x_0} [/mm] - [mm] x_0)$
[/mm]
Ok Leute, korrigiert mich ^^
greetz
AT-Colt
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Hallo AT-Colt!
>
> Hatten wir definiert [mm]\int \bruch{1}{t}dt = ln(x)[/mm] oder [mm]\int \bruch{1}{t}dt = ln(|x|)[/mm]?
>
Laut unserem Skript haben wir ersteres definiert.
Damit dürfte ja dann alles klar sein!
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:01 So 17.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
bei teil b) hätte ich so angestzt (einige einschränkungen an $x$ und $y$ vorausgesetzt):
[m] x(y^2-1)+y(x^2-1)y'=0 \; \Longleftrightarrow \; x(y^2-1) = -y(x^2-1)y' \; \Longrightarrow \; \frac{x}{x^2-1} = -\frac{yy'}{y^2-1} [/m]
integriert man nun auf beiden seiten nach $x$, so erhält man, da [m] y' \, \text{d}x = \text{d}y [/m]:
[m] \int \frac{x}{x^2-1} \; \text{d}x = - \int \frac{y}{y^2-1} \; \text{d}y [/m],
wobei beide seiten jetzt recht einfach zu integrieren sind. jedoch muss irgendwo ein recht banaler fehler vorliegen, da maple als allgemeine lösung [m] y(x) = \pm \frac{\sqrt{(x^2-1)(x^2-C)}}{x^2-1} [/m] angibt und ich das auf obigem wege nicht erhalte.
vielleicht hilft euch doch die eine odere andere information aus diesem post weiter.
gruß
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 So 17.10.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Andreas!
Ich habe bei deiner Idee mal angesetzt.
Diese scheint mir recht gut zu sein.
Was ich aber im Moment noch nicht sehe, ist, warum y´dx = dy?
Kannst Du mir das mal erklären?
Bei meinen Berechnungen komme zu folgendem Ergebnis:
[mm] y(x) = (+,-) \bruch {x}{\wurzel{x^2-1}}[/mm]
Dann müsste das maximale Existenintervall [mm](1, \infty) [/mm]sein wegen ln.
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 So 17.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
nur ganz kurz, da ich jetzt weg muss.
zum selben ergebnis kam ich glaube ich auch. du kannst das ja mal zur kontrolle in die differentialgleichung einsetzen, bei mir ging das nicht auf - ich kann mich aber auch verrechnet habe.
zur anderen frage:
in der mathematik definiert man das differential einer abhängigen funktion [m] y(x) [/m] eben als [m] \text{d}y := y' \, \text{d}x [/m]. du kannst bei google mal nach differential suchen, oder dir erläutert dir das hier jemand.
wie habt ihr den bisher solche ausdrücke berechnet?
gruß
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 So 17.10.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo Wurzelpi,
also ich versuche das mal zu erklären, warum y' dx=dy ist.
Du weiß ja, dass [mm]y'=\bruch{dy} {dx}[/mm] ist, formst du das jetzt um dann hast du genau
y'dx=dy. Ich weiß, dass man dass nicht machen darf,so habe ich mir das auch erklärt. Aber der Walcher hat dass in der Vorlesung auch so erklärt. Zumindestens um uns zu zeigen wie man auf eine bestimmte Beweisidee (zu Satz (1.3)) kommt. Aber wenn du dir mal Bemerkung (1.4) im Skript anschauest, dann steht da auch dieser Ausdruck.
Ich hoffe ich habe dir etwas weiter geholfen.
Und jetzt zu der Aufgabe. Ich habe das auch mal so versucht und kam auf ein ähnliches Ergebnis wie Maple. Also bei mir kam:
[mm]y(x)=\pm \wurzel{1- \bruch{(x^2-1)(1-y_0^2)}{x_0^2-1}}[/mm]
Mein genaue Lösung stelle ich später ins Netz, da ich im Moment nicht so viel Zeit habe.
Also bis denne
Jessica
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 So 17.10.2004 | | Autor: | hanna |
Hallo zusammen!
Zu den Aufgaben kann ich euch leider noch nichts sagen, habe mir den Übungszettel bis jetzt noch nicht wirklich angesehen.
Zu [mm] $\bruch{dy}{dx}$ [/mm] kann ich euch aber etwas sagen:
Also, auch wenn dies kein Bruch im eigentlichen Sinne ist, darf man damit Umformungen machen, so als wäre es ein normaler Bruch.
100%ig verstanden, warum das so ist, habe ich noch nicht (siehe hier), aber morgen habe ich (wg. einem Vortrag) einen Termin beim Walcher und sollte ich mit meiner Erklärung dafür immer noch falsch liegen, wird er es mir wohl besser erklären.
Deshalb morgen Abend dazu mehr!
Gruß,
Hanna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 So 17.10.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Jessica und Hanna!
Vielen Dank für die Erklärung.
Ich habe mir den entsprechenden Beweis noch einmal angeschaut.
Es sollte jetzt klar sein.
Hmm, aber warum komme ich zu einem anderen Ergebnis, obwohl ich sicher bin, mich nicht verechnet zu haben?
Ich bin mal auf Jesisca´s Lsg. gespannt, vielleicht klärt sich das denn von alleine!
Grüsse,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:41 Di 19.10.2004 | | Autor: | hanna |
Hallo!
Also, ich was gestern beim Walcher und eigentlich sollte ich ihm ja auch erklären, warum man nun so rechnen darf.
das konnte ich allerdings nicht wirklich und das schöne: der walcher konnte es mir auch nicht erklären, er suche selber nach einer Methode, das mal ordentlich aufzuschreiben, weil auch kein Buch darauf eingeht.
Also:
man darf so rechnen, warum auch immer!
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Hallo zusammen!
Ich habe auch nochmal nachgerechnet - Jessica´s Ergebnis (siehe Mitteilung) scheint zu stimmen!
Juhu!
Gruss,
Wurzelpi
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