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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzwerte der unten definierten Folgen:
(a) [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{2}{n^{2}} [/mm] + ... + [mm] \bruch{n}{n^{2}}
[/mm]
(b) [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n}}{n!}
[/mm]
(c) [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{n^{n}}
[/mm]
(d) [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^3 - (n+2)^3}{(n+3)^2}
[/mm]
(e) [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1 + 2n + 3*2^n + 4*3^n}{5 + 6n + 7*2^n + 8*3^n}
[/mm]
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Also mein Problem bei der Aufgabe ist, dass ich zwar bei allen Folgen die Grenzwerte bestimmen kann, aber ich soll dies ganz eindeutig über einen Rechnweg tun. Ich bekomme es aber nur durch einsetzten von Zahlen oder einfach durch Nachdenken heraus. Erstmal habe ich also versucht die Gleichungen irgendwie umzuformen, bin aber dabei nie zum Ergebnis gekommen. Hier meine Ansätze.
zu a:
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{2}{n^{2}} [/mm] + ... + [mm] \bruch{n}{n^{2}} [/mm] wenn dies gilt, dann müsste auch dies gelten:
[mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{2}{n^{2}} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Jeder der einzelnen Summanden geht ja eindeutig gegen null, was wir auch schon in der Vorlesung bewiesen haben, das ist also nicht mehr nötig. bloß was passiert, wenn man in diesem Fall alle Summanden, die gegen null gehen addiert? Wenn ich mich nicht vertan habe müsste der Grenzwert 0,5 sein, aber wie ich das noch weiter zeigen kann, weiß ich wirklich nicht.
zu b: Da habe ich mir einfach gedacht, dass folgendes gilt.
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{2*2*...*2}{1*2*...*(n-1)*n}
[/mm]
Eigentlich finde ich es ja offensichtlich, dass der nenner viel scheller gegen unendlich strebt als der Zähler, aber wieder ist mir nicht klar, wie sich das eindeutig zeigen lässt. Hier müsste der Grenzwert demnach null sei.
zu c: Auch hier habe ich umgeschrieben:
(c) [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{2n^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1*...*(n-1)*n}{n*n*n...*n} [/mm]
Hier müsste die Lösung ebenfalls null sein, aber das gleiche Problem wie immer. man könnte hier natürlich noch ein n rauskürzen, so dass die Anzahl der n im Nenner nurnoch n-1 wäre und im Zähler n-1 der letzte Faktor wäre.
zu d: Hier habe ich erstmal die Klammern entfernt und versucht zusammenzufassen:
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^3 - (n+2)^3}{(n+3)^2} [/mm]
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 - 6n^2 - 12n - 8}{(n+3)^2}
[/mm]
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{-3n^2 - 9n - 7}{(n+3)^2}
[/mm]
Nu sieht man ja theoretisch schon, dass der Grezwert -3 sein müsste, wenn ich mich nicht verrechnet habe, aber der Lösungeg oder wenigstens ein Ansatz, wie man weiterkommt, fehlt mir noch.
und zu (e): Dies ist mein größtes Problem, denn ich habe wirklich nur durch Einsetzen herausgefunden, dass der Grenzwert 0,5 sein müsste und weiß wirklich gar nicht, wie ich hier noch ansetzen soll.
Ich hoffe hier kann mir jemand helfen, wenigstens mit weiteren Anregungen oder Tips.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Beginnen wir mit a). Da brauchst du die Formel
[mm]1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{1}{2} \, n (n+1)[/mm]
Die ist bekannt durch die Geschichte mit dem kleinen C.F. Gauß.
Und bei b) könntest du folgendermaßen argumentieren:
[mm]0 \leq \frac{2^n}{n!} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots 2}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots n} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdots \frac{2}{n} \leq 2 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdots \frac{2}{3} = 2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{n-2}[/mm]
Für den Anfang sollte das einmal genügen.
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Danke für deinen Ansatz! Verstanden habe ich das soweit schonmal und werde mich jetzt gleich ransetzen und dann auch die anderen Aufgaben versuchen. Ich hatte gar nicht daran gedacht, wie bei b einfach abzuschätzen.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:12 So 26.11.2006 | | Autor: | Daniliesing |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der unten definierten Folgen:
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1 + 2n + 3*2^n + 4*3^n}{5 + 6n + 7*2^n + 8*3^n} [/mm] |
Die Aufgaben a-d konnte ich mit Hilfe der vorherigen Antwort lösen, aber diese Aufgabe bereitet mir noch immer Probleme. Ich weiß, dass die Folge gegen 0,5 strebt, aber wie ich die exakte lösung aufschreiben kann, ist mir nicht vollkommen klar. Ich hätte so angefangen:
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5 + 6n + 7*2^n + 8*3^n} [/mm] + [mm] \bruch{2n}{5 + 6n + 7*2^n + 8*3^n} [/mm] + [mm] \bruch{3*2^n}{5 + 6n + 7*2^n + 8*3^n} [/mm] + [mm] \bruch{4*3^n}{5 + 6n + 7*2^n + 8*3^n} [/mm]
Dabei geht der 1. Summand eindeutig gegen 0. Und für den letzten Summanden gilt: [mm] \bruch{4*3^n}{5 + 6n + 7*2^n + 8*3^n} [/mm] < [mm] \bruch{4*3^n}{8*3^n} [/mm] = 0,5
Nun müsste man also nur zeigen, dass die anderen Summanden auch gegen 0 gehen und schon wäre doch klar, dass der Grenzwert 0,5 ist. Bloß wie kann ich das zeigen und ist dies ein richtiger Lösungsweg?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 So 26.11.2006 | | Autor: | peter_d |
Hallo. Sieh es als Ansatz an, ob das als Lösung durchgeht, weiß ich nicht.
Du betrachtest jeden einzelnen Term. Welcher wächst wohl am schnellsten? Na klar, der Term [mm] $3^n$ [/mm] . Für n gegen Unendlich ist dieser Term unendlich größer als [mm] $2^n$ [/mm] und als die anderen sowieso.
Nun kommt dieser Term sowohl im Nenner als auch im Zähler vor
=> Betrachte nun nur den Term [mm] $\dfrac{4\cdot 3^n}{8\cdot 3^n}$
[/mm]
So sieht man, der Term strebt gegen 4/8 = 1/2
Gruß
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das war wohl Gedankenübertragung, denn gerade habe ich meine Fragestellung geändert und habe da einen ganz ähnlichen Lösungsvorschlag. Ob man es jetzt o schreiben kann, weiß ich nicht.
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ich habe die Lösung jetzt gefunden. Man muss einfach [mm] 3^n [/mm] ausklammern, sowohl im Nenner als auch im Zähler und dann klappt es.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:03 Mo 27.11.2006 | | Autor: | mrdca |
Ich habe da auch mal eine Frage!
Und zwar wenn ich da jetzt:
2 * [mm] (\bruch{2}{3})^{n-2} [/mm]
habe und n geht gegen unendlich strebt, dann habe ich doch so zusagen:
2 * 0 = 0
Oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mrdca!
Das stimmt so ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß
Loddar
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