Bestimmen von Teilmengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Yaci |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Teilmengen [mm] G_1,G_2,G_3 [/mm] von [mm] \IN, [/mm] für welche folgende Aussagen wahr sind:
[mm] (\forall x\in\/G_1)(\forall y\in\/G_1):x\not=y
[/mm]
[mm] (\forall x\in\/G_2)(\exists y\in\/G_2):x\ge y\land x\leq [/mm] y
[mm] (\exists y\in\/G_3)(\forall x\in\/G_3)(\exists z\in\IN):x^2=y+z
[/mm]
Begründen Sie Ihre Antwort.
Hinweis: Es darf ohne Beweis verwendet werden, dass jede nichtleere Teilmenge A [mm] \subseteq \IN [/mm] ein kleinstes Element besitzt |
Seid gegrüßt,
Ich habe eine Frage zur Vorgehensweise, um diese Aufgabe zu lösen.
Das Problem ist, dass ich nicht genau weis, wie ich Vorgehen muss, um aus dieses Aussagen nun die Teilmengen G1, G2 und G3 zu bestimmen. Gibt es dazu eine allgemeine Vorgehensweise oder gibt es spezielle Dinge worauf ich achten muss, um die Aufgabe zu lösen.
Wäre super, wenn Sie mir eine Hilfestellung geben könnten, wie ich diese Aufgabe lösen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Mo 29.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Yaci und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Das Problem ist, dass ich nicht genau weis, wie ich
> Vorgehen muss, um aus dieses Aussagen nun die Teilmengen
> G1, G2 und G3 zu bestimmen. Gibt es dazu eine allgemeine
> Vorgehensweise oder gibt es spezielle Dinge worauf ich
> achten muss, um die Aufgabe zu lösen.
Ein Schema F gibt es hier wohl nicht.
Zunächst ist es hilfreich, die drei Aussagen zu verbalisieren bzw. zu vereinfachen:
[mm] $(\forall x\in\/G_1)(\forall y\in\/G_1):x\not=y$
[/mm]
sagt aus:
Wann immer man zwei Elemente von [mm] $G_1$ [/mm] hernimmt (wobei a priori nicht ausgeschlossen ist, dass es sich zweimal um das gleiche Element handelt), sind die Elemente verschieden.
In
[mm] $(\forall x\in\/G_2)(\exists y\in\/G_2):x\ge y\land x\leq [/mm] y$
kann man das [mm] $x\ge y\wedge x\le [/mm] y$ vereinfachen zu $x=y$. Somit lautet die Aussage:
Für jedes Element von [mm] G_2 [/mm] existiert ein Element von [mm] G_2, [/mm] so dass die beiden Elemente übereinstimmen.
In der Aussage
[mm] $(\exists y\in\/G_3)(\forall x\in\/G_3)(\exists z\in\IN):x^2=y+z$
[/mm]
kann man [mm] $\exists z\in\IN\colon x^2=y+z$ [/mm] vereinfachen zu [mm] $x^2\ge [/mm] y$ bzw. [mm] $x^2>y$ [/mm] (je nachdem, ob die 0 bei euch eine natürliche Zahl ist oder nicht). Die Aussage verbalisiert:
Es gibt ein Element in [mm] $G_3$, [/mm] dass kleiner (gleich) allen Quadraten von Elementen von [mm] $G_3$ [/mm] ist.
Als weiteres Hilfsmittel könntest du mal ein paar Beispiel-Teilmengen von [mm] $\IN$ [/mm] daraufhin untersuchen, ob sie als [mm] $G_1$, $G_2$ [/mm] oder [mm] $G_3$ [/mm] in Frage kommen. Untersuche z.B.
[mm] $\{1,2,3\}$, $\{27\}$, $\{n\in\IN\;|\;n\text{ gerade}\}$, $\IN$ [/mm] und [mm] $\emptyset$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Di 30.10.2012 | | Autor: | Yaci |
Vielen Dank für die Antwort.
Das Bedueted nun also, dass es eine leere Menge ist, da nicht alle Elemente von G1 ungleich allen Elementen von G1 sein können.
Bei G2 müssten dann alle möglich sein (also unendlich viele Lösungen), denn für jede Zahl (x) existiert eine gleiche Zahl (y)
Zuletzt bei G3 bedeuted es, dass die Lösung G3={0,1} ist, da keine andere Zahlen größer oder gleich der kleinsten Quadratischen Zahl von x ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Di 30.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Das Bedueted nun also, dass es eine leere Menge ist, da
> nicht alle Elemente von G1 ungleich allen Elementen von G1
> sein können.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Die einzige Teilmenge [mm] $G_1\subseteq\IN$, [/mm] die der Aussage genügt, ist die leere Menge.
> Bei G2 müssten dann alle möglich sein (also unendlich
> viele Lösungen), denn für jede Zahl (x) existiert eine
> gleiche Zahl (y)
Jede Teilmenge [mm] $G_2\subseteq\IN$ [/mm] genügt der Aussage.
> Zuletzt bei G3 bedeuted es, dass die Lösung G3={0,1} ist,
> da keine andere Zahlen größer oder gleich der kleinsten
> Quadratischen Zahl von x ist.
Was meinst du mit einer "quadratischen Zahl von x"?
Eine Lösung ist in der Tat [mm] $G_3=\{0,1\}$, [/mm] denn sie enthält die Zahl $y:=0$, die kleiner gleich allen Quadraten von Elementen von [mm] $G_3$ [/mm] ist: [mm] $0\le 0^2$, $0\le1^2$.
[/mm]
Es gibt aber noch viel mehr Lösungen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Di 30.10.2012 | | Autor: | Yaci |
"Eine Lösung ist in der Tat $ [mm] G_3=\{0,1\} [/mm] $, denn sie enthält die Zahl y:=0, die kleiner gleich allen Quadraten von Elementen von $ [mm] G_3 [/mm] $ ist: $ [mm] 0\le 0^2 [/mm] $, $ [mm] 0\le1^2 [/mm] $. "
So wollte ich es Ausdrücken, ist mir aber nicht ganz gelungen :)
Vielen Dank für Ihre tolle Unterstützung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Di 30.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> "Eine Lösung ist in der Tat [mm]G_3=\{0,1\} [/mm], denn sie
> enthält die Zahl y:=0, die kleiner gleich allen Quadraten
> von Elementen von [mm]G_3[/mm] ist: [mm]0\le 0^2 [/mm], [mm]0\le1^2 [/mm]. "
>
> So wollte ich es Ausdrücken, ist mir aber nicht ganz
> gelungen :)
Nur um ein Missverständnis auszuschließen:
Es gibt nicht nur die eine von dir genannte Menge [mm] $G_3\subseteq\IN$, [/mm] die die Aussage aus der Aufgabenstellung erfüllt, sondern viele solche Mengen.
In der Aufgabenstellung ist verlangt, ALLE diese Mengen zu finden.
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