Bestimmte Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Levit |
| Aufgabe | | Zeigen sie mittels der Definition bestimmter Divergenz, dass wenn [mm] a_n->-\infty [/mm] und [mm] b_n->-\infty, [/mm] dann [mm] a_n*b_n->\infty. [/mm] |
Ich habe da so recht keine Idee wie ich das zeigen soll. Vieleicht hat jemand mal nen Ansatz.
Danke schon mal.
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moin Levit,
Du sollst das mit Hilfe der Definition von bestimmter Divergenz zeigen.^^
Also ist Schritt 1 erstmal diese rauszusuchen und hinzuschreiben.
Also erzähl mal wie ihr das definiert habt und was nach Definition für die beiden Folgen gilt.
Wenn du die Eigenschaften der Folgen aus der Definition rausgezogen hast dann dürfte das schon ausreichend sein um zu zeigen, dass das Produkt der Folgen dann genau die selbe Definition erfüllt.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Levit |
Also die bestimmte Divergenz haben wir definiert mit:
[mm] a_n [/mm] heißt bestimmt divergent gegen [mm] \infty, [/mm] wenn zu jedem K [mm] \in\IR [/mm] ein [mm] N\in\IN [/mm] existiert, so dass [mm] a_n>K [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N.
Zu den Folgen aus der Aufgabe ist nichts weiter gegeben, es soll für alle gelten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Sa 05.11.2011 | | Autor: | gnom347 |
> Also die bestimmte Divergenz haben wir definiert mit:
> [mm]a_n[/mm] heißt bestimmt divergent gegen [mm]\infty,[/mm] wenn zu jedem
> K [mm]\in\IR[/mm] ein [mm]N\in\IN[/mm] existiert, so dass [mm]a_n>K[/mm] für alle
> [mm]n\ge[/mm] N.
In deiner Aufgabe Konvergieren an und bn aber gegen -$ [mm] \infty, [/mm] $
Du schreibst dir also hin was es bedeutet, das an und bn gegen -$ [mm] \infty, [/mm] $
Konvergieren und versuchst aus dieser vorraussetzung zu folgern das
an*bn gegen +$ [mm] \infty, [/mm] $ konvergiert (schreib am besten auch nochmal hin was das für ab*bn nach definition bedeutet.
Wenn du das Sauber gemacht hast, und dir klar ist was du eigendlich machen must, ist der rest nicht mehr schwer.
>
> Zu den Folgen aus der Aufgabe ist nichts weiter gegeben, es
> soll für alle gelten.
Ja du brauchst auch keine weiteren angaben für den Beweis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Levit |
Wenn es gegen [mm] -\infty [/mm] geht, heißt dass, das [mm] (-a_n) [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] geht.
Wenn ich das für [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] machen mit [mm] (-a_n)>K, (-b_n)>L [/mm] bekomme ich:
[mm] (-a_n)*(-b_n)>(-a_n)*L>K*L=P
[/mm]
und somit
[mm] (-a_n)*(-b_n)=a_n*b_n>P
[/mm]
und somit konvergent gegen [mm] \infty.
[/mm]
Das wäre mein Beweis, aber ich gehe davon aus, dass das nicht stimmt, denn sonst könnte ich ja damit auch beweisen, dass das Produkt zweier Folgen, die jeweils gegen [mm] \infty [/mm] konvergieren, [mm] gegen-\infty [/mm] konvergiert.
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> Das wäre mein Beweis, aber ich gehe davon aus, dass das
> nicht stimmt, denn sonst könnte ich ja damit auch
> beweisen, dass das Produkt zweier Folgen, die jeweils gegen
> [mm]\infty[/mm] konvergieren, [mm]gegen-\infty[/mm] konvergiert.
Zu deinem Beweis oben:
Der stimmt soweit, du musst nur noch dazu sagen, dass n so zu wählen ist, dass [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] kleiner als 0 sind (damit du in deinem Beweis wirklich positive Zahlen multiplizierst).
Aber das ist ja kein Problem, wenn die Folgen gegen [mm] $-\infty$ [/mm] gehen.
Der Beweis für die beiden Folgen gegen [mm] $\infty$ [/mm] würde wahrscheinlich daran scheitern, dass [mm] $-a_n$ [/mm] dann nicht zwangsläufig positiv wäre.
Dann würde sich in deiner Ungleichungskette irgendwo eines der Zeichen umdrehen und damit geht es schief (was es ja wie du richtig festgestellt hast auch bitte sollte^^).
lg
Schadow
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