www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationBestimmtes Integral berechnen
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Integration" - Bestimmtes Integral berechnen
Bestimmtes Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bestimmtes Integral berechnen: Integral divergiert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:46 Sa 27.01.2018
Autor: Pacapear

Hallo zusammen!

Ich soll folgendes Integral berechnen:

[mm] \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx [/mm]

Als Stammfunktion habe ich [mm] -\frac{1}{x}, [/mm] was laut meinem Taschenrechner auch richtig ist.

Wenn ich jetzt die Grenzen einsetze, erhalte ich [mm] (-\frac{1}{1})-(-\frac{1}{-1})=-2. [/mm]

Allerdings sagt mein Taschenrechner hier, dass das Integral divergieren würde.

Wenn ich allerdings nur die Rechnung eingebe, kommt auch -2 raus [haee]

Wo ist denn hier mein Fehler?

Danke schonmal.

VG Nadine

        
Bezug
Bestimmtes Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 Sa 27.01.2018
Autor: Gonozal_IX

Hallo Nadine,

dein Integrand hat eine Polstelle im Integrationsgebiet, damit handelt es sich hier formal um ein uneigentliches Riemann-Integral. Du musst das Integral also an der fraglichen Stelle in zwei einzelne Integrale aufsplitten und diese berechnen. Nur wenn beide Einzelintegrale konvergieren, tut es das gesamte auch.

Wie sind die Werte der einzelnen Integrale?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Bestimmtes Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Sa 03.02.2018
Autor: Pacapear

Hallo Gono!



> Wie sind die Werte der einzelnen Integrale?



Also ich habe dann:

[mm] $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}dx [/mm] = [mm] \int_{-1}^{0} \frac{1}{x^2}dx [/mm] + [mm] \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2}dx$ [/mm]

Das erste Integral ist dann:

[mm] $\int_{-1}^{0} \frac{1}{x^2}dx [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} \int_{-1}^{z} \frac{1}{x^2}dx [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} [-\frac{1}{x}]_{-1}^{z} [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} [-\frac{1}{z}+1] [/mm] = [mm] \infty$ [/mm]

Das zweite Integral ist dann:

[mm] $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2}dx [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} \int_{z}^{1} \frac{1}{x^2}dx [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} [-\frac{1}{x}]_{z}^{1} [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} [-1+\frac{1}{z}] [/mm] = [mm] \infty$ [/mm]



Ist das so richtig?

Und damit ist das Integral divergent?



VG Nadine

Bezug
                        
Bezug
Bestimmtes Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Sa 03.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

deine Rechnungen sind korrekt. Und natürlich ist ein Integral mit einem der beiden unbestimmten Grenzwerte [mm] \{-\infty,\infty\} [/mm] divergent.

Je nachdem, in welchem Zusammenhang diese Aufgabe gestellt wurde, würde ich bei den Grenzwerten noch auf eine der üblichen Arten dazuschreiben, aus welcher Richtung z gegen Null strebt(auch wenn das aus dem Kontext heraus natürlich klar ist).


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Bestimmtes Integral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:36 Sa 03.02.2018
Autor: Pacapear


> Hallo,
>  
> deine Rechnungen sind korrekt. Und natürlich ist ein
> Integral mit einem der beiden unbestimmten Grenzwerte
> [mm]\{-\infty,\infty\}[/mm] divergent.

Danke :-)


Bezug
        
Bezug
Bestimmtes Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Sa 27.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo zusammen!

>

> Ich soll folgendes Integral berechnen:

>

> [mm]\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx[/mm]

>

Man sieht hier mal wieder schön, warum es wichtig ist, Aufgabentexte im Originalwortlaut anzugeben. Wer hat dir gesagt, dass du 'das Integral berechnen sollst'? Niemand vermutlich, die Aufgabensstellng lautet sicherlich irgendwie anders.

Betrachten wir für 0<z<1 das Integral

[mm] \int_{z}^{1}{ \frac{dx}{x^2}}=- \frac{1}{x}\bigg|_z^1=\frac{1}{z}-1[/mm]

Der Grenzwert dieses Integrals für z->0 ist

[mm] \lim_{z\overset{+}\rightarrow{0}} \int_{z}^{1}{ \frac{dx}{x^2}}= \lim_{z\overset{+}\rightarrow{0}}\left(\frac{1}{z}-1\right)=\infty[/mm]


Also ist die rechte Seite des Integrals divergent und wegen der Achsensymmetrie des Integranden das gesamte Integral. Die Anweisung, man 'solle' dieses Integral berechnen, ist also sinnlos.

> Als Stammfunktion habe ich [mm]-\frac{1}{x},[/mm] was laut meinem
> Taschenrechner auch richtig ist.

Dazu sollte man keinen Taschenrechner benötigen!

> Wenn ich jetzt die Grenzen einsetze, erhalte ich
> [mm](-\frac{1}{1})-(-\frac{1}{-1})=-2.[/mm]

>

Das wurde schon gesagt, aber noch nicht von jedem. ;-) Was du hier machst, ist nicht erlaubt: du integrierst über einem Intervall, das Definitionslücken des Integranden enthält.

> Allerdings sagt mein Taschenrechner hier, dass das Integral
> divergieren würde.

>

> Wenn ich allerdings nur die Rechnung eingebe, kommt auch -2
> raus [haee]

>

> Wo ist denn hier mein Fehler?

Da hast du noch ziemliche Lücken im Verständnis des Konzepts der Integration!


Gruß, Diophant

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]