Bestimmung Determinante Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind Punkte [m](x_i), (y_i), \, i = 1 ... 3 [/m]. Es geht um das lineare Gleichungssystem
[m]A * \lambda = y[/m] mit [m]A = \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^{2} \\ 1 & x_2 & x_2^{2} \\ 1 & x_3 & x_3^{2} \\ \end{pmatrix}, \lambda \in \IR^{3}[/m] und [m]y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}[/m]
a) Welche Anwendung steckt hinter diesem Gleichungssystem? Vollständige und präzise Formulierung nötig.
b) Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus det A.
Unter welcher Voraussetzung ist das Gleichungssystem für beliebige rechte Seiten [m]y \in \IR^{3}[/m] eindeutig lösbar? |
Hallo zusammen.
Zu a) Hinter diesem Gleichungssystem steckt die Anwendung der Ausgleichsrechnung,
speziell handelt es sich hier um die Matrix [m]A[/m], wobei [m]A \in \IR^{n \times m}[/m] mit [m]n[/m] Daten/-Wertepaaren
und [m]m[/m] Basisfunktionen des (i.d.R.) überbestimmten Fehlergleichungssystems (da m.E. nach meist n > m)
Ansatz ist hier: [m]f(x) = a + b*x + c *x^2[/m], wobei [m]\lambda = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}[/m], also [m]\lambda \in \IR^{3}[/m] mit [m]a,b,c \in \IR[/m] der Lösungsvektor des Gleichungssystems ist und die Basisfunktionen lauten:
[m]f_1(x) = 1, \, f_2(x) = x, \, f_3(x) = x^{2}[/m]. In diesem Fall ist es aber ein bestimmtes Gleichungssystem, da [m]m = n[/m].
Passt das alles soweit oder fehlt was?
b) Ich wende den Gauß-Algorithmus auf die Matrix A an und erhalte nach drei Zeilenumformungen:
[m]
A =
\begin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^{2} \\
0 & x_2-x_1 & x_2^{2}-x_1^{2} \\
0 & 0 & x_3^{2}-x_1^{2} - (\bruch {x_3-x_1}{x_2-x_1} * x_2*x_1)
\end{pmatrix}
[/m]
Nach Kürzen von [mm] x_2*x_1 [/mm] und Anwendung der dritten bin.Formel steht dann da
[m]
A =
\begin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^{2} \\
0 & x_2-x_1 & x_2^{2}-x_1^{2} \\
0 & 0 & (x_3+x_1)*(x_3-x_1)-(x_3-x_1)
\end{pmatrix}
[/m]
Kann hier noch weiter vereinfachen?
Also sollte die [m]det \ A = 1 * (x_2-x_1) * (x_3+x_1) * (x_3-x_1) + x_3+x_1[/m] sein?
Das Gleichungssystem ist für beliebige rechte Seiten [m]y \in \IR^{3}[/m] eindeutig lösbar [mm] \gdw[/mm] [m]det \, A \not= 0[/m]
[mm] \gdw [/mm] Matrix A hat vollen Rang [mm] \gdw [/mm] Anzahl der linear unabhängigen Zeilen = Anzahl der linear unabhängigen Spalten
Also ist speziell das oben aufgeführte Gleichungssystem für beliebige rechte Seiten [m]y \in \IR^{3}[/m] lösbar,
wenn der Ausdruck in der [m]det \, A \not= 0[/m], kann man das noch weiter konkretisieren?
Vielen Dank!
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Ich bin in dem anderen Artikel nicht wirklich schlau draus geworden.
Kann mir jemand in diesem Forumsartikel einen Tipp geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 So 06.07.2014 | | Autor: | gummibaum |
Sorry! Sollte ein Frageartikel sein!
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basakixx hat im andern Strang die Matrix bereits umgeformt und ich habe Tips zur weiteren Bearbeitung gegeben. Mehr kann man eigentlich nicht helfen, ohne nicht schon das Ergebnis zu verraten.
Im übrigen wird hier genau die Matrix untersucht, die du an dieser Stelle finden sollst. Darauf hat MaslanyFanclub schon hingewiesen.
Ein allgemeiner Ratschlag: Verliere dich nicht in Einzelheiten, sondern versuche das große Ganze zu sehen. Die Aufgaben, die du hier hereinstellst, hängen alle miteinander zusammen. Versuche zu erkennen, wie eins auf das andere aufbaut.
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In wie fern unterscheidet sich diese Aufgabe hier eigentlich von deiner heutigen Aufgabe hier:
https://matheraum.de/read?t=1028041
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