Bestimmung Punkt in Pyramide < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Mi 29.03.2006 | | Autor: | syro |
| Aufgabe | Eine weitere Kammer wurde um denjenigen Punkt P gebaut, der von allen Seitenflächen und der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat.
Bestimmen sie die Koordinaten von P auf eine Dezimale gerundet.
Pyramide ABCD und S: A(72|72|0) B(-72|72|0) C(-72|-72|0) D(72|-72|0) S(0|0|90) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also meine Frage an euch lautet, wo liegt dieser Punkt P?
Dieser Punkt muss ja auf der x3-Achse liegen => P(0|0|x)
Doch wie soll ich diesen x Wert bestimmen, habe wirklich schon einiges versucht, kommt aber immer nur Käse raus!
Hoffe ihr habt Rat :)
bye Dennis
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Hallo!
> Eine weitere Kammer wurde um denjenigen Punkt P gebaut, der
> von allen Seitenflächen und der Grundfläche der Pyramide
> den gleichen Abstand hat.
> Bestimmen sie die Koordinaten von P auf eine Dezimale
> gerundet.
>
> Pyramide ABCD und S: A(72|72|0) B(-72|72|0) C(-72|-72|0)
> D(72|-72|0) S(0|0|90)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also meine Frage an euch lautet, wo liegt dieser Punkt P?
> Dieser Punkt muss ja auf der x3-Achse liegen => P(0|0|x)
>
> Doch wie soll ich diesen x Wert bestimmen, habe wirklich
> schon einiges versucht, kommt aber immer nur Käse raus!
Also, kurz gesagt, ist der gesucht Punkt der "Mittelpunkt" der Pyramide. Und ich würde meinen, der liegt dort, wo sich die Mittelsenkrechten (wenn man die so nennt!?) aller Seiten treffen. Ich würde also für zwei Seiten der Pyramide den Mittelpunkt berechnen (das macht man schätzungsweise unter anderem mit Pythagoras, dürfte aber recht einfach sein), und durch diese Punkt dann eine Gerade legen, die senkrecht auf der Seitenfläche steht. Und diese beiden Geraden (also von zwei der Seitenflächen) schneiden sich dann genau in P. Zur Kontrolle könntest du für alle Seitenflächen solche Geraden erstellen, die müssten sich dann alle im selben Punkt schneiden.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:54 Mi 29.03.2006 | | Autor: | syro |
Also, ich habe folgendes versucht, bekomme aber leider ein falsches Ergebnis:
Ich habe den Schwerpunkt des Dreiecks DAS und ABS mithilfe der Formel (s= [mm] \bruch{1}{3}* \vec{a}* \vec{b}* \vec{c}).
[/mm]
Nun habe ich 2 Schwerpunkte S1(48|0|30) und S2(0|48|30), nun habe ich die Normale von jeder Seitenfläche mithilfe des Kreuzproduktes gebildet.
nun lautet die Formel für meine erste Gerade: g1: [mm] \vec{x}= \vektor{48 \\ 0 \\ 30} [/mm] + s * [mm] \vektor{-5 \\ 0 \\ -4}
[/mm]
zweite Gerade lautet: g2: [mm] \vec{x}= \vektor{0 \\ 48 \\ 30} [/mm] + t * [mm] \vektor{0 \\ 5 \\ 4}
[/mm]
Geschnitten bekomme ich folgende Werte für P(0|0|-8,4). Das Ergebnis müsste bei ungefähr (0|0|34,4) liegen [mm] :\
[/mm]
Hast du das so gemeint? Eigentlich müsste es doch reichen, wenn ich mich auf eine Seitengerade konzentriere. Der Mittelpunkt ist leicht bestimmt, nur wie krieg ich da meinen Richtungsvektor hin?!?
Wieder so eine banale Aufgabe, aber man zerbricht seinen Kopf darüber!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Sorry, ich hatte wohl eine falsche Vorstellung von dem "Gebilde". Ich bin von einem Tetraeder ausgegangen anstatt von einer Pyramide. Kann sein, dass mein Weg da oben nicht so ganz stimmt - aber da habe ich im Moment nicht den Nerv zu, das nochmal neu zu überdenken.
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Do 30.03.2006 | | Autor: | riwe |
stell dir P als den mittelpunkt der kugel vor, die alle flächen der pyramide von innen berührt. wie du weißt, hat dann P die koordinaten P(0/0/r), mit dem zu suchenden r.
die seitenfläche ABS hat die koordinatenform 5y + 4z - 360 = 0. in die HNF die koordinaten von P einsetzen, ergibt den abstand r: [mm] \frac{4r-360}{\sqrt{41}}=\pm [/mm] r. und daraus - mit r > 0 - [mm]r=\frac{360}{4+\sqrt {41}}\approx 34.60[/mm]
werner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Do 30.03.2006 | | Autor: | syro |
Den gleichen Ansatz hatte ich auch schon, nur komme ich mit deiner Umformung nicht zurecht.
da steht doch: [mm] \bruch{4r-360}{ \wurzel{41}} [/mm] = d
und wie kann ich das nach r auflösen? geht doch irgendwie nicht oO
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Do 30.03.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo syro,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Den gleichen Ansatz hatte ich auch schon, nur komme ich mit
> deiner Umformung nicht zurecht.
>
> da steht doch: [mm]\bruch{4r-360}{ \wurzel{41}}[/mm] = d
>
> und wie kann ich das nach r auflösen? geht doch irgendwie
> nicht oO
Denk dran, dass d=r sein muss! Du weißt, warum?
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Do 30.03.2006 | | Autor: | syro |
Ja das ist logisch, denn r ist gleich Abstand von Grundfläche zum Punkt. Also d = r.
Ich hab jetzt einige Umformungen probiert und komme trotzdem nicht darauf, entweder mach ich irgendwas falsch oder es ist was faul [mm] :\
[/mm]
Also meine Umformung lautet:
[mm] \bruch{4r-360}{ \wurzel{41}} [/mm] = r
4r - 360 = r * [mm] \wurzel{41} [/mm] | :r
4 - [mm] \wurzel{41} [/mm] = [mm] \bruch{360}{r}
[/mm]
-2,40r = 360
r = -150 ?!?
sorry was stimmt hier nicht ?!?
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Hallo Syro,
du frugst:
> sorry was stimmt hier nicht ?!?
Weiter oben zeigst du uns, was du gerechnet hast:
> [...]
> Also meine Umformung lautet:
>
> [mm]\bruch{4r-360}{ \wurzel{41}}[/mm] = r
Und das ist falsch. Wie "riwe" schon schrieb, gilt:
[mm]\bruch{4r-360}{ \wurzel{41}} = \pm r [/mm]
denn das Einsetzen eines Vektors in die Hesse'sche Normalenform liefert einen vorzeichenbehafteten Abstand. In deinem Fall liefert wohl das Minuszeichen die gesuchte Lösung, das Pluszeichen liefert einen Punkt unterhalb der Pyramide, der zur Grundfläche und zu den Verlängerungen der Pyramidenseiten den gleichen Abstand hat.
Tschö
Stukkateur
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Do 30.03.2006 | | Autor: | syro |
merci hat alles wunderbar funktioniert, jetzt is es mir klar!
danke nochmal!
bye Dennis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Do 30.03.2006 | | Autor: | riwe |
wenn du probleme mit dem vorzeichen hast, kannst du auch folgenden weg einschlagen: die seitenfläche ist tangentialebene an die gesuchte kugel, also gilt: [mm] (\vec{x}-\vec{m})\cdot (\vec{b}-\vec{m})=r^{2}, [/mm] mit [mm] \vec{m}, \vec{b} [/mm] ortsvektor des mittelpunktes M, bzw. des berührungspunktes B. da r senkrecht auf B ergibt sich daraus [mm] r\cdot \vec{n}_0 \cdot (\vec{x}-\vec{m})=r^{2}\rightarrow (\vektor{0\\0\\90}-\vektor{0\\0\\r})\cdot\vektor{0\\5\\4}\frac{1}{\sqrt{41}}=r [/mm] und damit wieder [mm] 360-4r=r\cdot\sqrt{41}\rightarrow r=\frac{360}{4+\sqrt{41}}[/mm] ohne die qual der wahl des vorzeichens.
werner
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