Bestimmung Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Entscheiden Sie für die folgenden Teilmengen eines Vektorraums, ob sie ein Untervektorraum sind. Begründen Sie dabei jede Ihrer Antworten!
a) ${ [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \IR^3 [/mm] | x=y}$
b) ... |
Ich habe jetzt nicht alle Teilaufgaben hingeschrieben, da ich nur einen Ansatz für a) brauche und dann hoffentlich alleine auf den Rest komme.
Mir sind die Regeln für Untervektorräume bekannt jedoch ist mir nicht klar, wie ich mit Hilfe dieser Regeln beweisen soll, das es sich um einen Untervektorraum handelt.
Regeln:
UVR 1) $U [mm] \not= \emptyset$ [/mm] (Das ist ja klar.)
UVR 2) $x,y [mm] \in [/mm] U gilt x+y [mm] \in [/mm] U$
UVR 3) Für alle $u [mm] \in [/mm] U$ und alle $a [mm] \in \IK$: [/mm] $a*u [mm] \in [/mm] U$ (Skalarmultiplikation)
Für einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar.^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo WhiteKalia,
> Entscheiden Sie für die folgenden Teilmengen eines
> Vektorraums, ob sie ein Untervektorraum sind. Begründen
> Sie dabei jede Ihrer Antworten!
>
> a) [mm]\left\{ \begin{pmatrix} x \\
y \\
z \end{pmatrix} \in \IR^3 | x=y\right\}[/mm]
Mengenklammern mache mit vorangehendem Backslash: \{\}
für [mm]\{\}[/mm]
>
> b) ...
> Ich habe jetzt nicht alle Teilaufgaben hingeschrieben, da
> ich nur einen Ansatz für a) brauche und dann hoffentlich
> alleine auf den Rest komme.
>
> Mir sind die Regeln für Untervektorräume bekannt jedoch
> ist mir nicht klar, wie ich mit Hilfe dieser Regeln
> beweisen soll, das es sich um einen Untervektorraum
> handelt.
> Regeln:
>
> UVR 1) [mm]U \not= \emptyset[/mm] (Das ist ja klar.)
Genau, der Nullvektor liegt in U
>
> UVR 2) [mm]x,y \in U gilt x+y \in U[/mm]
>
> UVR 3) Für alle [mm]u \in U[/mm] und alle [mm]a \in \IK[/mm]: [mm]a*u \in U[/mm]
> (Skalarmultiplikation)
>
> Für einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar.^^
Nun, ich zeige die 2), du machst 3) 
Nehmen wir uns [mm]x,y\in U[/mm] her, dann lassen sich diese Vektoren wegen der Bedingung in U (erste=zweite Komponente, dritte Komponente beliebig) schreiben als
[mm]x=\vektor{x_1\\
x_1\\
x_3}, y=\vektor{y_1\\
y_1\\
y_3}[/mm]
Damit ist [mm]x+y=\vektor{x_1+y_1\\
x_1+y_1\\
x_3+y_3}[/mm]
Und hier stimmen die ersten beiden Komponenten wieder überein [mm] $(x_1+y_1=x_1+y_1)$, [/mm] also [mm]x+y\in U[/mm]
Nun versuche mal 3)
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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