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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Burdy |
| Aufgabe | Sei [mm] G=GL(2,\IR) [/mm] (Gruppe der invertierbaren 2x2-Matrizen auf [mm] \IR) [/mm] und [mm] V=\IR^{2}. [/mm] G operiert durch Multiplikation von rechts auf V.
Bestimmen sie die Bahnen von G auf V. |
Bahnen sind definiert als xG={ xg | [mm] g\in [/mm] G }, [mm] x\in [/mm] X (wenn G auf X von rechts operiert).
Das heißt doch, die Bahnen sind die Menge aller möglichen Ergebnisse, wenn man eine invertierbare Matrix mit einem Vektor aus V multipliziert.
Das ist doch am Ende wieder der [mm] \IR^{2} [/mm] ? Oder erhält man da eine bestimmte Menge? Ich seh da auf anhieb nämlich keine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]G=GL(2,\IR)[/mm] (Gruppe der invertierbaren 2x2-Matrizen auf
> [mm]\IR)[/mm] und [mm]V=\IR^{2}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G operiert durch Multiplikation von
> rechts auf V.
> Bestimmen sie die Bahnen von G auf V.
> Bahnen sind definiert als xG={ xg | [mm]g\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G }, [mm]x\in[/mm] X (wenn
> G auf X von rechts operiert).
>
> Das heißt doch, die Bahnen sind die Menge aller möglichen
> Ergebnisse, wenn man eine invertierbare Matrix mit einem
> Vektor aus V multipliziert.
> Das ist doch am Ende wieder der [mm]\IR^{2}[/mm] ? Oder erhält man
> da eine bestimmte Menge? Ich seh da auf anhieb nämlich
> keine.
Wenn du etwa $v = [mm] \pmat{ 1 \\ 0 }$ [/mm] waehlst, so ist $0 [mm] \not\in [/mm] v G$.
Umgekehrt ist $v [mm] \not\in [/mm] w G$ mit $w = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 }$.
[/mm]
Ueberleg jetzt nochmal.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Di 17.11.2009 | | Autor: | Burdy |
> Hallo!
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> Wenn du etwa [mm]v = \pmat{ 1 \\ 0 }[/mm] waehlst, so ist [mm]0 \not\in v G[/mm].
>
> Umgekehrt ist [mm]v \not\in w G[/mm] mit [mm]w = \pmat{ 0 \\ 0 }[/mm].
>
> Ueberleg jetzt nochmal.
>
> LG Felix
Hallo
Danke für die Antwort.
Ich hab mir das wohl ein bisschen falsch überlegt mit den Bahnen.
Also wenn ich, wie du geschrieben hast v=(1,0) nehme, dann ist die Bahn vM=(a,b) mit [mm] M=\pmat{ a & b \\ c & d }, [/mm] M invertierbar.
Die Bahn wM=(0,0) ist disjunkt zu vM, weil ja, damit M invertierbar ist, aus [mm] a=0\Rightarrow b\not=0\wedge c\not=0 [/mm] oder [mm] b=0\Rightarrow a\not=0\wedge d\not=0 [/mm] folgen muss und das liegt nicht in der Bahn (0,0).
Für u=(0,1) ist uM=(c,d) ist auch disjunkt zu vM und zu (0,0) sowieso.
Hab ich damit jetzt schon alle Bahnen? Wie kann ich sagen, wann ich alle hab?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Wenn du etwa [mm]v = \pmat{ 1 \\ 0 }[/mm] waehlst, so ist [mm]0 \not\in v G[/mm].
> >
> > Umgekehrt ist [mm]v \not\in w G[/mm] mit [mm]w = \pmat{ 0 \\ 0 }[/mm].
> >
> > Ueberleg jetzt nochmal.
> >
> > LG Felix
>
> Hallo
> Danke für die Antwort.
>
> Ich hab mir das wohl ein bisschen falsch überlegt mit den
> Bahnen.
>
> Also wenn ich, wie du geschrieben hast v=(1,0) nehme, dann
> ist die Bahn vM=(a,b) mit [mm]M=\pmat{ a & b \\ c & d },[/mm] M
> invertierbar.
Die Bahn schreibst du aber lieber auf als $v G = [mm] \{ v M = (a b) \mid M = \pmat{ a & b \\ c & d } \in G \}$.
[/mm]
> Die Bahn wM=(0,0) ist disjunkt zu vM, weil ja, damit M
Elemente sind nicht disjunkt! Du musst schon die Bahnen betrachten, nicht Elemente daraus!
> invertierbar ist, aus [mm]a=0\Rightarrow b\not=0\wedge c\not=0[/mm]
> oder [mm]b=0\Rightarrow a\not=0\wedge d\not=0[/mm] folgen muss und
> das liegt nicht in der Bahn (0,0).
Genau.
> Für u=(0,1) ist uM=(c,d) ist auch disjunkt zu vM und zu
Nur Notation siehe oben. Die Bahnen $u G$ und $v G$ sind uebrigens gleich, und umfassen alle Elemente in [mm] $\IR^2$ [/mm] ausser $(0, 0)$. (Das kannst du mit dem Basisergaenzungssatz zeigen.)
LG Felix
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