Bestimmung der Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Sa 11.08.2007 | | Autor: | haiducii |
| Aufgabe | | Eine Ebene E ist orthogonal zur [mm] x_1x_2-Ebene [/mm] und zur [mm] x_1x_3-Ebene [/mm] und geht durch den Punkt A (1/1/1). Bestimmen Sie eine Gleichung von E. |
Hallo!
Hab ein Problem mit der Ebenenbestimmung.
Mein Weg:
Die Orthogonalität ist kein Problem.
E= [mm] ax_1+bx_2+cx_3=d
[/mm]
Wegen der Orthogonalität sind [mm] x_2=0 [/mm] und [mm] x_3=0.
[/mm]
Nun hab ich [mm] ax_1=d.
[/mm]
Ist mein Weg bis jetzt richtig?
Was mach ich mit A (1/1/1)?
Bitte helft mir.
Vielen Dank.
Bis dann,
Haiducii
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Sa 11.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo haiducii!
Wie lauten denn die Ebenengleichungen der [mm] $x_2/x_2$-Ebene [/mm] und der [mm] $x_1/x_3$-Ebene [/mm] bzw. deren Normalenvektoren?
Verwende dieses beiden Normalenvektroen als Richtungsvektoren der gesuchten Ebene mit dem Punkt $A_$ als Stützpunkt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Sa 11.08.2007 | | Autor: | haiducii |
Hey!
Danke für deine Hilfe.
Als Richtungsvektoren hab ich:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Als Stützvektor:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Meine Ebenengleichung:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}+s*\vektor{-1 \\ 0 \\ -1}+t*\vektor{-1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
Stimmt das?
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> Hey!
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> Danke für deine Hilfe.
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> Als Richtungsvektoren hab ich:
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Als Stützvektor:
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Meine Ebenengleichung:
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+s*\vektor{-1 \\ 0 \\ -1}+t*\vektor{-1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>
> Stimmt das?
Ich fürchte nein: wie kommst Du nun, nachdem Du oben die richtigen Richtungsvektoren der Ebene hingeschrieben hast, auf diese äusserst merkwürdigen anderen "Richtungsvektoren" in der Parameterform der Ebenengleichung?
Meiner Meinung nach ist die Gleichung der gesuchten Ebene:
[mm]E:\, \vektor{x\\y\\z} = \vektor{1 \\ 1 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}+t*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Nebenbei bemerkt, auch Dein Ansatz [mm] $ax_1=d$ [/mm] war in Ordnung. Du hättest einfach die Koordinaten des Stützpunktes einsetzen müssen um diese Koordinatenform der Ebenengleichung genauer zu bestimmen. Hier hättest Du also für [mm] $x_1$ [/mm] den Wert 1 einsetzen müssen: ergibt $a=d$. Damit sind zwar $a$ und $d$ nicht eindeutig festgelegt: aber dies ist kein Grund zur Beunruhigung, denn die Koordinatenform der Ebenengleichung ist immer nur bis auf einen konstanten Faktor bestimmt. Wir dürfen also z.B. einfach $a=1$ festlegen, dann folgt $d=1$. Somit wäre die Ebene $E$ auch durch die Gleichung
[mm]E:\; x_1=1[/mm]
richtig beschrieben.
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