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Bestimmung der Integrale: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 Mi 04.06.2008
Autor: Surfer

Hallo, ich soll folgende bestimmte Integrale berechnen mit Hilfe von Termen wie: u`(x)=  [mm] \bruch{1+(u(x))^{2}}{2} [/mm] und sin(x) = [mm] \bruch{2u(x)}{1+(u(x))^{2}} [/mm] und cos(x) = [mm] \bruch{1-(u(x))^{2}}{1+(u(x))^{2}} [/mm]
Hinweis: sin(x) = 2 [mm] sin(\bruch{x}{2})cos(\bruch{x}{2}) [/mm] und cos(x) = [mm] (cos(\bruch{x}{2}))^{2}- (sin(\bruch{x}{2}))^{2} [/mm]

also folgende Integrale sind zu berechnen:

[mm] \integral_{\pi/3}^{2\pi/3}{\bruch{1}{sin(x)} dx} [/mm]
[mm] \integral_{\pi/2}^{\pi}{\bruch{1}{1 - cos(x)} dx} [/mm]
[mm] \integral_{\pi/3}^{\pi/2}{\bruch{1+sin(x)}{sin(x)*(1+cos(x))} dx} [/mm]

irgendwie muss man mit Hilfe der obigen Terme die Integrale auf rationale Integranden zurückführen, aber wie?

lg Surfer


        
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Bestimmung der Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:39 Do 05.06.2008
Autor: fred97

Substituiere u = tan(x/2). Dann ist u' = (1+u²)/2 und sin und cos lassen sich wie angegeben durch u darstellen.

Diese Substitution führt auf die Integration einer rationalen Funktion

FRED

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Bestimmung der Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Do 05.06.2008
Autor: Surfer

Ok dann hätt eich ja dastehen wenn ich alles durch u ersetze:

u` = [mm] \bruch{1+u^{2}}{2} [/mm]
sin(u) = [mm] \bruch{2u}{1+u^{2}} [/mm]
cos(u) = [mm] \bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}} [/mm]

oder? und wie gehts nun weiter?

lg und danke Surfer

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Bestimmung der Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:22 Do 05.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Surfer,

> Ok dann hätt eich ja dastehen wenn ich alles durch u
> ersetze:
>  
> u' = [mm]\bruch{1+u^{2}}{2}[/mm]

Also [mm] $\frac{du}{dx}=\frac{1+u^2}{2}\Rightarrow dx=\frac{2}{1+u^2} [/mm] \ du$

>  [mm] sin(\red{x}) [/mm] = [mm]\bruch{2u}{1+u^{2}}[/mm]
>  [mm] cos(\red{x}) [/mm] = [mm]\bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}}[/mm]
>  
> oder? und wie gehts nun weiter?

Na, einsetzen:

zB beim ersten Integral (ich rechne das mal unbestimmt, keine Lust die Grenzen mitzusubstituieren):

[mm] $\int{\frac{1}{\sin(x)} \ dx}=\int{\frac{1}{\frac{2u}{1+u^2}} \frac{2}{1+u^2} \ du}=\int{\frac{1+u^2}{2u}\cdot{}\frac{2}{1+u^2} \ du}=\int{\frac{1}{u} \ du}=\ln|u|$ [/mm]

resubstituieren: [mm] $=\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|$ [/mm]

Noch die Grenzen einsetzen und fertig...

> lg und danke Surfer

Gruß

schachuzipus


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Bestimmung der Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Do 05.06.2008
Autor: Surfer

Ok dann würde ich beim zweiten Integral auf
[mm] [\bruch{-1}{tan(\bruch{x}{2})}] [/mm] kommen was dann für die Schranken zu
[mm] [\bruch{-1}{\pm\infty} [/mm] +1  ] führen würde?

Und bei der c) kann das sein, dass wenn ich einsetzte und vereinfache auf [mm] \integral_{\pi/3}^{\pi/2}{\bruch{(1+u)^{2}*(1+u^{2})}{4u} du} [/mm] führen würde?

lg Surfer

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Bestimmung der Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 Do 05.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Surfer,

> Ok dann würde ich beim zweiten Integral auf
>  [mm][\bruch{-1}{tan(\bruch{x}{2})}][/mm] [ok] kommen was dann für die
> Schranken zu
>  [mm][\bruch{-1}{\pm\infty}[/mm] +1  ] führen würde? [ok]

Das strebt also gegen 1

>  
> Und bei der c) kann das sein, dass wenn ich einsetzte und
> vereinfache auf
> [mm]\integral_{\pi/3}^{\pi/2}{\bruch{(1+u)^{2}*(1+u^{2})}{4u} du}[/mm]

Hier musst du entweder die Grenzen mitsubstituieren oder komplett weglassen und das unbestimmte Integral berechnen und dann am Schluss, wenn du alles wieder in der Variablen x ausdrückst, die Grenzen einsetzen

Ich komme nach dem Zusammenfassen auch fast auf dein noch zu berechnende Integral [mm] $\int{\frac{(u+1)^2(1+u^2)}{2u} \ du}$ [/mm]

Allerdings meine ich, dass sich da noch die 2 von dem [mm] $dx=\frac{2}{1+u^2} [/mm] \ du$ gegen die 4 im Nenner kürzt.

Rechne aber sicherheitshalber nochmal nach ...


> führen würde?
>
> lg Surfer


Gruß

schachuzipus

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Bestimmung der Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Do 05.06.2008
Autor: Surfer

Hallo, kann das nochmal jemand nachprüfen, beim zweiten mal rechnen kome ich nämlich nun auf das Integral [mm] \integral_{}^{}{\bruch{(u+1)^{2}}{2} du} [/mm] was mich zum integrierten führt:
1/2 *[1/3 [mm] u^{3}+u^{2}+u] [/mm]

wäre super nett
lg Surfer

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Bestimmung der Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Do 05.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

ich hab's jetz noch zweimal nachgerechnet und komme beide Male auf

[mm] $\int{\frac{(u+1)^2}{2u} \ du}$ [/mm]

[mm] $=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{u^2+2u+1}{u} \ du}=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\left(u+2+\frac{1}{u}\right) \ du}$ [/mm]

...

;-)

LG

schachuzipus

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Bezug
Bestimmung der Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:54 Do 05.06.2008
Autor: Surfer

Ja du hast recht ich hatte das u im Nenner vergessen! Dann erhalte ich integriert und rückstubstituiert : [mm] \bruch{1}{2}*[\bruch{1}{2}(tan(\bruch{x}{2}))^{2} [/mm] + 2*tan( [mm] \bruch{x}{2})+ln(tan(\bruch{x}{2}))] [/mm] und mit den Schranken ergibt dies ungefähr 0,62933 oder?

lg Surfer

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Bezug
Bestimmung der Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Do 05.06.2008
Autor: schachuzipus

Hi nochmal,

hm, ich erhalte nach dem Integrieren

[mm] $\frac{\ln(u)}{2}+\frac{\frac{1}{2}u^2}{2}+\frac{2u}{2}=\frac{\ln(u)}{2}+\frac{u(u+4)}{4}$ [/mm]

zurücksubstituiert also [mm] $\frac{\ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)}{2}+\frac{\tan\left(\frac{x}{2}\right)\cdot{}\left[\tan\left(\frac{x}{2}\right)+4\right]}{4}$ [/mm]

Da nun die Grenzen eingesetzt und vereinfacht sollte [mm] $\frac{\ln(3)}{4}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{7}{6}\approx [/mm] 0,8639$ ergeben


LG

schachuzipus

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