Bestimmung der Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, ich soll folgende bestimmte Integrale berechnen mit Hilfe von Termen wie: u`(x)= [mm] \bruch{1+(u(x))^{2}}{2} [/mm] und sin(x) = [mm] \bruch{2u(x)}{1+(u(x))^{2}} [/mm] und cos(x) = [mm] \bruch{1-(u(x))^{2}}{1+(u(x))^{2}} [/mm]
Hinweis: sin(x) = 2 [mm] sin(\bruch{x}{2})cos(\bruch{x}{2}) [/mm] und cos(x) = [mm] (cos(\bruch{x}{2}))^{2}- (sin(\bruch{x}{2}))^{2}
[/mm]
also folgende Integrale sind zu berechnen:
[mm] \integral_{\pi/3}^{2\pi/3}{\bruch{1}{sin(x)} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{\pi/2}^{\pi}{\bruch{1}{1 - cos(x)} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{\pi/3}^{\pi/2}{\bruch{1+sin(x)}{sin(x)*(1+cos(x))} dx}
[/mm]
irgendwie muss man mit Hilfe der obigen Terme die Integrale auf rationale Integranden zurückführen, aber wie?
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Do 05.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Substituiere u = tan(x/2). Dann ist u' = (1+u²)/2 und sin und cos lassen sich wie angegeben durch u darstellen.
Diese Substitution führt auf die Integration einer rationalen Funktion
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Do 05.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok dann hätt eich ja dastehen wenn ich alles durch u ersetze:
u` = [mm] \bruch{1+u^{2}}{2}
[/mm]
sin(u) = [mm] \bruch{2u}{1+u^{2}}
[/mm]
cos(u) = [mm] \bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}}
[/mm]
oder? und wie gehts nun weiter?
lg und danke Surfer
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Hallo Surfer,
> Ok dann hätt eich ja dastehen wenn ich alles durch u
> ersetze:
>
> u' = [mm]\bruch{1+u^{2}}{2}[/mm]
Also [mm] $\frac{du}{dx}=\frac{1+u^2}{2}\Rightarrow dx=\frac{2}{1+u^2} [/mm] \ du$
> [mm] sin(\red{x}) [/mm] = [mm]\bruch{2u}{1+u^{2}}[/mm]
> [mm] cos(\red{x}) [/mm] = [mm]\bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}}[/mm]
>
> oder? und wie gehts nun weiter?
Na, einsetzen:
zB beim ersten Integral (ich rechne das mal unbestimmt, keine Lust die Grenzen mitzusubstituieren):
[mm] $\int{\frac{1}{\sin(x)} \ dx}=\int{\frac{1}{\frac{2u}{1+u^2}} \frac{2}{1+u^2} \ du}=\int{\frac{1+u^2}{2u}\cdot{}\frac{2}{1+u^2} \ du}=\int{\frac{1}{u} \ du}=\ln|u|$
[/mm]
resubstituieren: [mm] $=\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|$
[/mm]
Noch die Grenzen einsetzen und fertig...
> lg und danke Surfer
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Do 05.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok dann würde ich beim zweiten Integral auf
[mm] [\bruch{-1}{tan(\bruch{x}{2})}] [/mm] kommen was dann für die Schranken zu
[mm] [\bruch{-1}{\pm\infty} [/mm] +1 ] führen würde?
Und bei der c) kann das sein, dass wenn ich einsetzte und vereinfache auf [mm] \integral_{\pi/3}^{\pi/2}{\bruch{(1+u)^{2}*(1+u^{2})}{4u} du} [/mm] führen würde?
lg Surfer
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Hallo Surfer,
> Ok dann würde ich beim zweiten Integral auf
> [mm][\bruch{-1}{tan(\bruch{x}{2})}][/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") kommen was dann für die
> Schranken zu
> [mm][\bruch{-1}{\pm\infty}[/mm] +1 ] führen würde?
Das strebt also gegen 1
>
> Und bei der c) kann das sein, dass wenn ich einsetzte und
> vereinfache auf
> [mm]\integral_{\pi/3}^{\pi/2}{\bruch{(1+u)^{2}*(1+u^{2})}{4u} du}[/mm]
Hier musst du entweder die Grenzen mitsubstituieren oder komplett weglassen und das unbestimmte Integral berechnen und dann am Schluss, wenn du alles wieder in der Variablen x ausdrückst, die Grenzen einsetzen
Ich komme nach dem Zusammenfassen auch fast auf dein noch zu berechnende Integral [mm] $\int{\frac{(u+1)^2(1+u^2)}{2u} \ du}$
[/mm]
Allerdings meine ich, dass sich da noch die 2 von dem [mm] $dx=\frac{2}{1+u^2} [/mm] \ du$ gegen die 4 im Nenner kürzt.
Rechne aber sicherheitshalber nochmal nach ...
> führen würde?
>
> lg Surfer
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Do 05.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, kann das nochmal jemand nachprüfen, beim zweiten mal rechnen kome ich nämlich nun auf das Integral [mm] \integral_{}^{}{\bruch{(u+1)^{2}}{2} du} [/mm] was mich zum integrierten führt:
1/2 *[1/3 [mm] u^{3}+u^{2}+u] [/mm]
wäre super nett
lg Surfer
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Hallo nochmal,
ich hab's jetz noch zweimal nachgerechnet und komme beide Male auf
[mm] $\int{\frac{(u+1)^2}{2u} \ du}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{u^2+2u+1}{u} \ du}=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\left(u+2+\frac{1}{u}\right) \ du}$
[/mm]
...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Do 05.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ja du hast recht ich hatte das u im Nenner vergessen! Dann erhalte ich integriert und rückstubstituiert : [mm] \bruch{1}{2}*[\bruch{1}{2}(tan(\bruch{x}{2}))^{2} [/mm] + 2*tan( [mm] \bruch{x}{2})+ln(tan(\bruch{x}{2}))] [/mm] und mit den Schranken ergibt dies ungefähr 0,62933 oder?
lg Surfer
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Hi nochmal,
hm, ich erhalte nach dem Integrieren
[mm] $\frac{\ln(u)}{2}+\frac{\frac{1}{2}u^2}{2}+\frac{2u}{2}=\frac{\ln(u)}{2}+\frac{u(u+4)}{4}$
[/mm]
zurücksubstituiert also [mm] $\frac{\ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)}{2}+\frac{\tan\left(\frac{x}{2}\right)\cdot{}\left[\tan\left(\frac{x}{2}\right)+4\right]}{4}$
[/mm]
Da nun die Grenzen eingesetzt und vereinfacht sollte [mm] $\frac{\ln(3)}{4}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{7}{6}\approx [/mm] 0,8639$ ergeben
LG
schachuzipus
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