Bestimmung der ersten Ableitun < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie die erste Ableitung von f(x)= [mm] x*10^x [/mm] |
Hallo,
ich benötige die erste Ableitung dieser Funktion. Nun bin ich total verwirrt was die Sache mit den Ketten-/Produktregeln und den Log. funktionen angeht....
Hier ist mal mein erster Ansatz:
die erste ableitung von x ergibt 1, also: f(x)= 1* [mm] 10^x [/mm] (geht das so? oder muss ich was wegen produkt/kettenregel beachten?)
[mm] 10^x [/mm] leite ich wie folgt ab: [mm] 10^x [/mm] ist nichts weiter als der Logarithmus zur Basis 10, also Ln(x). Die Ableitung des Logarithmus wäre ja innere Ableitung durch äußere Ableitung-> x' / x, also 1/x.
Somit ist f(x)'= 1/x.
Ist das so in Ordnung oder habe ich etwas nicht beachtet?
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Hallo,
da ist einiges richtig und einiges falsch. Wenn du die einzelnen Summanden aufschreiben möchtest, so darfst du dies natürlich tun, du darfst aber nicht einen Summanden mit f' bezeichnen, wenn die abzuleitende Funktion f heißt. Schreibe dann besser etwa u'v oder etwas dergleichen.
Zur eigentlichen Ableitung. Dass die Produktregel angewendet werden muss, hast du richtig erkannt. Dein erster Summand
[mm] u'v=1*10^x
[/mm]
ist dabei auch völlig richtig. Nur die Ableitung von [mm] 10^x [/mm] stimmt überhaupt nicht: es ist
[mm] 10^x=\left(e^{ln10}\right)^x=e^{x*ln10}
[/mm]
und damit (per Kettenregel):
[mm] \left(10^x\right)'=ln10*10^x
[/mm]
Generell ist
[mm] \left(a^x\right)'=lna*a^x, [/mm] wie du sicher auch deiner Formelsammlung entnehmen kannst.
Gruß, Diophant
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