Bestimmung der reellen Lösung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:08 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Dan-T |
| Aufgabe | Man bestimme alle reellen Lösungen von
a) ||x|-|-5||<1
b) [mm] |2x-3|>x^2 [/mm] |
Ist die Lösung von Teilaufgabe a schlicht x>-4? Wie soll ich mit den Absolutbetrag umgehen, finde dazu irgendwie keine Beispielaufgabe...
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Hallo Dan-T,
> Man bestimme alle reellen Lösungen von
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> a) ||x|-|-5||<1
>
> b) [mm]|2x-3|>x^2[/mm]
> Ist die Lösung von Teilaufgabe a schlicht x>-4? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wie soll
> ich mit den Absolutbetrag umgehen, finde dazu irgendwie
> keine Beispielaufgabe...
Bei verschachtelten Beträgen immer von "innen nach außen" auflösen - wie bei Klammern.
In Teil (a) lässt sich der Ausdruck erstmal vereinfachen zu:
[mm] $||x|-|-5||<1\gdw [/mm] ||x|-5|<1$
Nun von innen nach außen. Zuerst also kümmere dich um $|x|$
1.Fall: [mm] $x\ge 0\Rightarrow [/mm] |x|=x$
Also wird die Ungleichung zu $|x-5|<1$
Nun den äußeren Betrag angehen
Fall 1 A: [mm] $x-5\ge 0\gdw x\ge [/mm] 5$
[mm] $\Rightarrow [/mm] |x-5|=x-5$
Damit wird die Ungleichung zu [mm] $x-5<1\gdw [/mm] x<6$
Also wenn du nun alle Bedingungen an x für diesen Fall zusammenfasst:
[mm] $x\ge 0\wedge x\ge 5\wedge [/mm] x<6$, also insgesamt [mm] $x\in [/mm] [5,6)$
Fall 1B: [mm] $x-5<0\gdw [/mm] x<5$
[mm] $\Rightarrow [/mm] |x-5|=-(x-5)=5-x$
Damit wird die Ungleichung zu [mm] $5-x<1\gdw [/mm] x>4$
Wieder alle Bedingungen an x zusammentragen für diesen Fall:
[mm] $x\ge [/mm] 0, x<5, x>4$, also insgesamt [mm] $x\in(4,5)$
[/mm]
Nun kümmere dich mal um den 2.Fall: [mm] $x<0\Rightarrow [/mm] |x|=-x$
Genau wie oben hast du einen Fall 2A und Fall 2B, probier's mal
Am Schluss vereinige alle Lösungen (Intervalle), das gibt dir die Gesamtlösung der Ungleichung.
Bei der (b) geht das ganz ähnlich:
Schaue dir den Betrag an. Wieder 2 Fälle.
1: das, was im Betrag steht, ist [mm] \ge [/mm] 0, also [mm] $2x-3\ge [/mm] 0$, also [mm] $x\ge \frac{3}{2}$
[/mm]
Dann ist $|2x-3|=2x-3$ ...
2: $2x-3<0$, also [mm] $x<\frac{3}{2}$
[/mm]
Dann ist $|2x-3|=-(2x-3)=3-2x$ ...
LG
schachuzipus
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