Bestimmung des Supremums < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Sa 06.11.2010 | | Autor: | vivi |
Hallo allesamt,
ich habe mir soeben eine Erklärung im Buch Tutorium Lineare Algebra I und Analysis I angeschaut. Es geht um die Bestimmung von Supremum, Infinum etc.
Das Beispiel lautet:
[mm] \wurzel{x+y}/xy [/mm] ; x,y, [mm] \in \IR, [/mm] x,y [mm] \ge [/mm] 1
Im Buch wurde der Term dann umgeformt in
[mm] \wurzel{1/xy^{2} + 1/x^{2}y} \le \wurzel{2}
[/mm]
Logisch kann ich es nachvollziehen. Nun kommt es im Buch zur Supremumsbestimmung durch Widerspruchsbeweis.
[mm] \wurzel{2} [/mm] - d [mm] \ge \wurzel{x+y}/xy
[/mm]
Für x und y wird jetzt 1 eingesetzt.
[mm] \wurzel{2} [/mm] - d [mm] \ge \wurzel{2} [/mm] => d [mm] \le [/mm] 0
Widerspruch zur Annahme, dass d > 0 ist => Wurzel 2 ist kleinste obere Schranke.
Nun macht das zwar alles Sinn und im Buch wurde auch gesagt, dass aus der Monotonie der Wurzelfunktion man annehmen kann, dass Wurzel 2 das Supremum ist, aber darf ich das einfach bei jeder Aufgabe so machen? Weil im Grund könnte ich jede beliebige Zahl (in diesem Fall kleiner als Wurzel 2) als Supremum angeben, es würde immer eine Zahl geben, die drunter liegt. Muss man deswegen noch vor der Angabe des Supremums einen mathematischen Beweis schreiben oder genügt eine Erklärung so wies im Buch gemacht wurde?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 So 07.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo allesamt,
> ich habe mir soeben eine Erklärung im Buch Tutorium
> Lineare Algebra I und Analysis I angeschaut. Es geht um die
> Bestimmung von Supremum, Infinum etc.
> Das Beispiel lautet:
> [mm]\wurzel{x+y}/xy[/mm] ; x,y, [mm]\in \IR,[/mm] x,y [mm]\ge[/mm] 1
>
> Im Buch wurde der Term dann umgeformt in
> [mm]\wurzel{1/xy^{2} + 1/x^{2}y} \le \wurzel{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Logisch kann ich es nachvollziehen. Nun kommt es im Buch
> zur Supremumsbestimmung durch Widerspruchsbeweis.
>
> [mm]\wurzel{2}[/mm] - d [mm]\ge \wurzel{x+y}/xy[/mm]
>
> Für x und y wird jetzt 1 eingesetzt.
>
> [mm]\wurzel{2}[/mm] - d [mm]\ge \wurzel{2}[/mm] => d [mm]\le[/mm] 0
>
> Widerspruch zur Annahme, dass d > 0 ist => Wurzel 2 ist
> kleinste obere Schranke.
Ich weiss nicht warum man es so kompliziert macht. Einfach $x = y = 1$ einsetzen liefert doch schon, dass die Funktion auch [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] annimmt. Also muss [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] die kleinste obere Schranke sein, da alles durch [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] beschraenkt ist und dieser Wert auch angenommen wird.
> Nun macht das zwar alles Sinn und im Buch wurde auch
> gesagt, dass aus der Monotonie der Wurzelfunktion man
> annehmen kann, dass Wurzel 2 das Supremum ist,
Wenn du von der Darstellung [mm] $\sqrt{1 / x y^2 + 1 / x^2 y}$ [/mm] ausgehst, dann ja.
> aber darf ich das einfach bei jeder Aufgabe so machen?
Was genau meinst du mit "so"? Mit Monotonie argumentieren? Das geht natuerich nur, wenn die Funktion auch monoton ist.
> Weil im Grund
> könnte ich jede beliebige Zahl (in diesem Fall kleiner als
> Wurzel 2) als Supremum angeben, es würde immer eine Zahl
> geben, die drunter liegt. Muss man deswegen noch vor der
> Angabe des Supremums einen mathematischen Beweis schreiben
> oder genügt eine Erklärung so wies im Buch gemacht
> wurde?
Das haengt davon ab,
* wie die Funktion aussieht,
* wie das ganze bewertet wird.
Bei Anfaengern wird eher ein Beweis erwartet.
Spaeter im Studium reicht eine gute Argumentation oder bei "einfachen" Funktionen auch "scharfes hingucken".
LG Felix
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