Bestimmung des supremum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Di 10.03.2009 | | Autor: | MHOOO |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi zusammen,
ich habe mir die folgende Menge ausgedacht:
[mm] M := \{\frac{1}{n} | n \in \IN \}[/mm]
Nun wollte ich bestimmen: [mm]sup M[/mm]
Dazu nehme ich an: 1 ist obere Schranke.
Mit [mm]1 \ge \frac{1}{n} \forall n \in \IN[/mm] ist somit 1 schonmal obere Schranke.
Nun ist noch zzg dass 1 auch kleinste obere Schranke ist.
(und hier glaube ich hapert der Beweis ein bisschen)
Anname: 1 ist kleinste obere Schranke. Nach dem Archimedischen Prinzip gilt
[mm]\forall \epsilon > 0 \exists n \in \IN : n > \frac{1}{\epsilon}[/mm]
Mit [mm]M \ni x = \frac{1}{n}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow -x = -\frac{1}{n} [/mm]
[mm]\Leftrightarrow -x + 1= 1 -\frac{1}{n} [/mm]
[mm]\Leftrightarrow -x = 1 -\frac{1}{n} - 1 > 1 - \frac{1}{\frac{1}{e}} [/mm]
[mm]= 1 - \epsilon - 1 < -x [/mm]
[mm]\Rightarrow x < \epsilon - 1 + 1 [/mm]
[mm]\Rightarrow x < \epsilon[/mm]
Nun ist x ja kleiner epsilon, also sollte es auch immer ein x geben sodass [mm]1 - \epsilon < 1 - x[/mm]. Da nun x aber auch immer kleiner als 1 ist, ist 1 die kleinste obere Schranke.
Ist das so ok?
Würde mich über Antwort freuen.
Schönen Gruß,
MHOOO
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Di 10.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi zusammen,
>
> ich habe mir die folgende Menge ausgedacht:
> [mm]M := \{\frac{1}{n} | n \in \IN \}[/mm]
> Nun wollte ich
> bestimmen: [mm]sup M[/mm]
> Dazu nehme ich an: 1 ist obere Schranke.
> Mit [mm]1 \ge \frac{1}{n} \forall n \in \IN[/mm] ist somit 1
> schonmal obere Schranke.
> Nun ist noch zzg dass 1 auch kleinste obere Schranke ist.
> (und hier glaube ich hapert der Beweis ein bisschen)
> Anname: 1 ist kleinste obere Schranke. Nach dem
> Archimedischen Prinzip gilt
> [mm]\forall \epsilon > 0 \exists n \in \IN : n > \frac{1}{\epsilon}[/mm]
>
> Mit [mm]M \ni x = \frac{1}{n}[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow -x = -\frac{1}{n}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow -x + 1= 1 -\frac{1}{n}[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow -x = 1 -\frac{1}{n} - 1 > 1 - \frac{1}{\frac{1}{e}}[/mm]
>
> [mm]= 1 - \epsilon - 1 < -x[/mm]
> [mm]\Rightarrow x < \epsilon - 1 + 1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x < \epsilon[/mm]
>
> Nun ist x ja kleiner epsilon, also sollte es auch immer ein
> x geben sodass [mm]1 - \epsilon < 1 - x[/mm]. Da nun x aber auch
> immer kleiner als 1 ist, ist 1 die kleinste obere
> Schranke.
>
> Ist das so ok?
Nein, denn es ist schleierhaft, was Du da treibst !
Du hast: 1 ist eine obere Schranke von M.
Weiter ist 1 [mm] \in [/mm] M, also ist supM = maxM = 1
FRED
>
> Würde mich über Antwort freuen.
>
> Schönen Gruß,
> MHOOO
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Di 10.03.2009 | | Autor: | MHOOO |
Ah, so einfach also. Danke :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Di 10.03.2009 | | Autor: | MHOOO |
Dann hier mal mein Ansatz für die Menge [mm]M = \{ -\frac{1}{n} | n \in \IN \}[/mm]
Annahme: 0 ist obere Schranke.
Für [mm]x \in M[/mm] ist mit [mm]x = - \frac{1}{n}[/mm] jedes x negativ für positive n und somit immer kleiner 0.
Also ist 0 obere Schranke.
Annahme: 0 ist kleinste obere Schranke.
[mm]\forall \epsilon > 0 \exists x \in M: x > 0 - \epsilon[/mm]
Mit [mm]x = -\frac{1}{n} [/mm] gilt nach dem Archimedischen Prinzip: ([mm]\forall \epsilon > 0 \exists n > \frac{1}{\epsilon}, n \in \IN[/mm])
[mm]x = -\frac{1}{n} > - \frac{1}{\frac{1}{\epsilon}} = -\epsilon = 0-\epsilon < x[/mm].
0 ist somit kleinste obere Schranke. 0 ist aber kein Maximum, da es kein [mm]n \in \IN[/mm] gibt mit [mm]\frac{1}{n} = 0[/mm] da sonst
[mm]\frac{1}{n} = 0 \Leftrightarrow \frac{n}{n} = 0 \cdot n \Rightarrow 1 = 0[/mm], was eine falsche Aussage ist.
Ist das so ok?
Würde mich über Antwort freuen.
Schöne Grüße,
MHOOO
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mi 11.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Dann hier mal mein Ansatz für die Menge [mm]M = \{ -\frac{1}{n} | n \in \IN \}[/mm]
>
> Annahme: 0 ist obere Schranke.
> Für [mm]x \in M[/mm] ist mit [mm]x = - \frac{1}{n}[/mm] jedes x negativ für
> positive n und somit immer kleiner 0.
> Also ist 0 obere Schranke.
Bis hierher ist alles vollkommen korrekt.
> Annahme: 0 ist kleinste obere Schranke.
> [mm]\forall \epsilon > 0 \exists x \in M: x > 0 - \epsilon[/mm]
>
> Mit [mm]x = -\frac{1}{n}[/mm] gilt nach dem Archimedischen Prinzip:
> ([mm]\forall \epsilon > 0 \exists n > \frac{1}{\epsilon}, n \in \IN[/mm])
>
> [mm]x = -\frac{1}{n} > - \frac{1}{\frac{1}{\epsilon}} = -\epsilon = 0-\epsilon < x[/mm].
Hier hast du in Endeffekt eine Falsche Aussage stehen, da steht x>x
Also überdenke nochmal den Schritt.
Du musst zeigen, dass es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein N gibt, dass
$ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge N:-\bruch{1}{n}<0-\varepsilon [/mm] $
>
> 0 ist somit kleinste obere Schranke. 0 ist aber kein
> Maximum, da es kein [mm]n \in \IN[/mm] gibt mit [mm]\frac{1}{n} = 0[/mm] da
> sonst
> [mm]\frac{1}{n} = 0 \Leftrightarrow \frac{n}{n} = 0 \cdot n \Rightarrow 1 = 0[/mm],
> was eine falsche Aussage ist.
>
> Ist das so ok?
>
> Würde mich über Antwort freuen.
>
> Schöne Grüße,
> MHOOO
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Mi 11.03.2009 | | Autor: | MHOOO |
Hi
> Hier hast du in Endeffekt eine Falsche Aussage stehen, da steht x>x
> Also überdenke nochmal den Schritt.
Das [mm]< x[/mm] habe ich da nur nochmal hin geschrieben um zu verdeutlichen das [mm]0-\epsilon[/mm] kleiner ist als [mm]x[/mm], das ist nicht aus der Aufgabe heraus da entstanden, sondern einfach nur aus Lesbarkeitsgründen. Aber jetzt wo du es erwähnst, fällt mir auch auf dass ich sowas besser nicht so hinschreiben sollte.
Wäre es denn korrekter wenn das [mm]< x[/mm] dort einfach nicht mehr steht?
> Du musst zeigen, dass es zu jedem $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ ein N gibt, dass
> $ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge N:-\bruch{1}{n}<0-\varepsilon [/mm] $
Müsste das nicht sein:
$ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge N:-\bruch{1}{n}>0-\varepsilon [/mm] $, denn mit dem beweis das $ [mm] -\frac{1}{n} [/mm] < 0$ würde dann ja folgen das es immer ein $x [mm] \in [/mm] M$ gibt das in [mm] $[0-\epsilon, [/mm] 0)$ für jedes [mm] $\epsilon$ [/mm] liegt.
Vielen Dank für die Antwort.
Schönen Gruß,
MHOOO
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Mi 11.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Hi
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> > Hier hast du in Endeffekt eine Falsche Aussage stehen, da
> steht x>x
> > Also überdenke nochmal den Schritt.
> Das [mm]< x[/mm] habe ich da nur nochmal hin geschrieben um zu
> verdeutlichen das [mm]0-\epsilon[/mm] kleiner ist als [mm]x[/mm], das ist
> nicht aus der Aufgabe heraus da entstanden, sondern einfach
> nur aus Lesbarkeitsgründen. Aber jetzt wo du es erwähnst,
> fällt mir auch auf dass ich sowas besser nicht so
> hinschreiben sollte.
> Wäre es denn korrekter wenn das [mm]< x[/mm] dort einfach nicht
> mehr steht?
Dann wäre das zumindest eine korrekte Ungleichungskette.
>
> > Du musst zeigen, dass es zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein N gibt,
> dass
> > [mm]\forall n \ge N:-\bruch{1}{n}<0-\varepsilon[/mm]
> Müsste das
> nicht sein:
> [mm]\forall n \ge N:-\bruch{1}{n}>0-\varepsilon [/mm], denn mit dem
> beweis das [mm]-\frac{1}{n} < 0[/mm] würde dann ja folgen das es
> immer ein [mm]x \in M[/mm] gibt das in [mm][0-\epsilon, 0)[/mm] für jedes
> [mm]\epsilon[/mm] liegt.
Wenn du jetzt noch die vielen neuen Buchstaben, die du plötzlich herholst, erläuterst, ist das korrekt.
Versuche mal $ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 [mm] :-\bruch{1}{n}>0-\varepsilon [/mm] $ nur mit [mm] N,n,\varepsilon [/mm] zu zeigen. Und wenn du einen neuen Buchstaben herzauberst, definiere den, oder erläutere ihn zumindest.
>
> Vielen Dank für die Antwort.
>
> Schönen Gruß,
> MHOOO
Marius
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