Bestimmung einer Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils eine Basis des Unterraums U vom IR-Vektorraum V .
a) [mm] V=\IR3 [/mm] , U=<(1, 1, 1), (2, 1, 1), (3, 1, 1)>
c) [mm] V=\IR[x] [/mm] , U=< 1 + x + [mm] 2x^2 [/mm] , 1 + [mm] x^3 [/mm] , −x − [mm] x^2 [/mm] + [mm] x^3, x^2 [/mm] + [mm] x^4, [/mm] 3 + 3x + [mm] 3x^2 [/mm] − [mm] 3x^4 [/mm] > |
Jo Hallo
ich wollte das so lösen, das ich zeige soll das
1. die drei Vektroen von U l.u. sind und
2. das die Vektoren den U aufspannen, was sich aber mit der aufgabenstellung schon definiert wurde und somit nicht mehr geprüft werden muss.
zu a)
Ich schreibe also auf
[mm] \alpha*\overrightarrow{A}+\beta\overrightarrow{B}+\gamma*\overrightarrow{C}=\overrightarrow{0}
[/mm]
Das LGS löse ich mit Gauß und erhalte das [mm] \gamma [/mm] ein Parameter ist (steht an keiner stufenkante, letzte Zeile ist 0 Zeile) --> somit sind die 3 Vektoren nicht l.u., also bilden sie keine Basis von U?
zu c)
ich will die Funktionen in Vektoren umschreiben der Marke: [mm] \vektor{x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \\ x^4}. [/mm] Zb. [mm] x^2+1 [/mm] entspricht [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] Diese Vektoren wil ich dann wie oben auf l.u. prüfen mit Gauß
Ist das so korrekt, oder muss ich
[mm] \alpha*funktion1+\beta*funktion2+....=\overrightarrow{0}
[/mm]
Über ein paar nette Ratschläge wäre ich sehr dankbar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi,
ich muss grad weg, desshalb nur kurz zu a)
> Jo Hallo
> ich wollte das so lösen, das ich zeige soll das
> 1. die drei Vektroen von U l.u. sind und
> 2. das die Vektoren den U aufspannen, was sich aber mit
> der aufgabenstellung schon definiert wurde und somit nicht
> mehr geprüft werden muss.
>
> zu a)
>
> Ich schreibe also auf
>
> [mm]\alpha*\overrightarrow{A}+\beta\overrightarrow{B}+\gamma*\overrightarrow{C}=\overrightarrow{0}[/mm]
>
> Das LGS löse ich mit Gauß und erhalte das [mm]\gamma[/mm] ein
> Parameter ist (steht an keiner stufenkante, letzte Zeile
> ist 0 Zeile) --> somit sind die 3 Vektoren nicht l.u., also
> bilden sie keine Basis von U?
Richtig. Du sollst aber eine Basis finden. Der Unterraum U ist ,wenn ichs richtig sehe, eigentlich nur eine Gerade. Wenn du deren Richtungsvektor findest, bekommst du den Basisvektor.
Nach demselben Prinzip geht die andere Aufgabe wahrsch. auch.
L G walde
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| Aufgabe | | Du sollst aber eine Basis finden. Der Unterraum U ist ,wenn ichs richtig sehe, eigentlich nur eine Gerade. Wenn du deren Richtungsvektor findest, bekommst du den Basisvektor. |
Also ich habe raus:
[mm] \vektor{\alpha \\ \beta \\ \gamma}=\gamma*\vektor{1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Ist das meine Lösung???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Fr 03.11.2006 | | Autor: | galileo |
Hi Hiroschiwa
Um den maximalen Anzahl der l.u. Vektoren zu finden, musst du am elegantesten, den Rang der Matrix, gebildet aus den Vektoren bestimmen.
a)
[mm]
\mathrm{rang}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 1
\end{pmatrix}
=2
[/mm]
Der Unterraum U ist 2-dimensional.
Ähnlich get auch b)
Der ganze Trick bei der Sache ist der Rang einer Matrix. Den Rang kannst du mit einem ähnlichen Algorithmus wie die Determinante ausrechnen.
Versuche dich ein bischen darüber zu dokumentieren.
Schöne Grüße,
galileo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Fr 03.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
um den Thread mal vollständig zu beantworten und die Idee von galileo vollständig darzustellen:
Wenn du die Vektoren als Zeilen schreibst und den Gauß mit seinen Zeilenoperationen anwendest, dann entsteht ja die Zeilenstufenform.
(beachte, dass du jede neue Zeile nur als Linearkombination der anderen schreibst, du bleibst also im selben Erzeugnis der Vektoren)
Wenn du dann die Zeilenstufenform vorliegen hast, dann sind alle Nicht-Null-Zeilen linear unabhängig, denn sie haben alle unterschiedlich viele Einträge durch die Stufenform.
Du hast also ein linear unabhängig Menge bekommen, die noch den selben Rang hat wie vorher bzw. noch das selbe Erzeugnis erzeugt, also eine Basis.
bei der c) weißt du ja schon, wie man die Polynome als Vektoren schreiben kann - also hier auch einfach als Matrix schreiben und Gauß drauf anwenden, dann sind alle Nicht-Nullzeilen vektoren deiner Basis.
viele Grüße
DaMenge
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Danke erst mal für die Resonanz von euch so "spät" am abend :)
[mm] \vmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] lautet meine endmatrix:
also lautet meine [mm] \IR^2 [/mm] Basis B des Untervektorraumes U:
B=<(1,2,3) , (0,1,2)>?
[mm] \IR^2 [/mm] deshalb weil ich 2 l.u. Gleichungen habe oder der Rang = 2 bzw 2 Basis Vektoren habe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Fr 03.11.2006 | | Autor: | galileo |
Um den Rang zu bestimmen, darfst du auch Linearkombinationen der Spalten nehmen, und darfst zusätzlich eine Zeile oder eine Spalte mit einer beliebigen Zahl multiplizieren. Wenn du das anwendest, ist deine Endmatrix:
[mm]
r=
\mathrm{rang}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
=2
[/mm]
Als Basisvektoren, kannst du nehmen r beliebige Vektoren aus U nehmen deren Matrix den Rang r hat. (z.B 2 Zeilen und 3 Spalten muss den Rang 2 haben)
Das Prinzip habe ich hoffentlich einigermaßen klar rübergebracht.
Gruss, galileo
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| Aufgabe | | Als Basisvektoren, kannst du nehmen r beliebige Vektoren aus U nehmen deren Matrix den Rang r hat. (z.B 2 Zeilen und 3 Spalten muss den Rang 2 haben) |
r=2 --> 2 beliebige Vektoren aus U, deren Matrix den rang r hat (also 2 l.u. gleichugnen) hier z.b. (1,0) , (o,1) --> [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]
A ist also eine Basis des [mm] \IR^2?
[/mm]
ich versteh nicht warum 2x3 immer den rang 2 ergibt
wie lautet denn jetzte eine konkrete basis meines UVR?
Ich habe mitlerweile auch gesehen das U eine Gerade beschreibt
Zusatzfrage:
Wenn ich 2 Basiselemente habe, dann ist die Dim meiner Matrix = 2 oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Sa 04.11.2006 | | Autor: | galileo |
U beschreibt eine Ebene.
Eine mögliche Basis ist
[mm]
\begin{array}{lll}
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}\qquad &
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}\qquad &
\mathrm{rang}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1
\end{pmatrix}=2
\end{array}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:50 Sa 04.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] lautet meine
> endmatrix:
wie bist du denn auf diese Matrix gekommen?
:-?
also wenn du die Matrix: [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1}[/mm] auf Zeilenstufenform mittels Zeilenoperationen beim Gauß bringst, sollte sich die erste Zeile doch wohl kaum ändern, oder?
ich erhalte : [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
als endmatrix, also sind auf jeden Fall die beiden Vektoren [mm] $\vektor{1\\1\\1}$ [/mm] und [mm] $\vektor{0\\1\\1}$ [/mm] (mit (-1) multipliziert, damit es schöner aussieht) eine Basis von U
@galilieo & interessierte:
um mal Stellung zu dem Vorschlag nur den Rang zu bestimmen zu beziehen
(war das deutsch ?!?)
was bringt einem, wenn man weiß, wieviele Vektoren man auswählen muss, also wieviele linear unabhängig sein müssen?!?
wenn ich aus 158 Vektoren genau 82 auswählen muss, hätte ich lieber einen Algorithmus der mir ein ergebnis liefert als die Aussage : du weißt, dass du 82 auswählen musst...
mal abgesehen davon, dass die Zeilenstufenform ausreicht um den Rang abzulesen (also noch leichter zu berechnen ist), bekommt man direkt seine gesuchten Basisvektoren dazu, wenn man sich auf Zeilenoperationen beschränkt...
noch ganz doll viel witziger wird es, wenn man die gefundene Basis ergänzen soll.... zu sagen wir einer Basis mit Länge : 112
bei der Zeilenstufenform fügt man dann einfach die i-ten Standardvektoren ein (wenn in der i-ten Zeile auf der Diagonalen eine 0 steht in Zeilenstufenform) , aber wir lautet der konstruktive Vorschlag, wenn man nur den Rang kennt ?!?
viele grüße z uso später stunde..
DaMenge
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> Hi,
>
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] lautet meine
> > endmatrix:
>
> wie bist du denn auf diese Matrix gekommen?
> :-?
nun ja, ich nehme U=<(1, 1, 1), (2, 1, 1), (3, 1, 1)> und gehe davon aus das
[mm] \overrightarrow{A}= \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ist, [mm] \overrightarrow{B}= \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] ist, [mm] \overrightarrow{C}= \vektor{3 \\ 1 \\ 1} [/mm] ist,
die haue ich dann aneinander mit $ [mm] \alpha\cdot{}\overrightarrow{A}+\beta\overrightarrow{B}+\gamma\cdot{}\overrightarrow{C}=\overrightarrow{0} [/mm] $ und so komme ich halt auf das auf das LGS
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }=0[/mm]
ist das etwa nicht korrekt?
>
> also wenn du die Matrix: [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1}[/mm]
> auf Zeilenstufenform mittels Zeilenoperationen beim Gauß
> bringst, sollte sich die erste Zeile doch wohl kaum ändern,
> oder?
ich habe sie im vergleich zu deiner matrix wohl transponiert also muss sie sich wohl ändern, gelle ;)
> ich erhalte : [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
> als endmatrix, also sind auf jeden Fall die beiden Vektoren
> [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] und [mm]\vektor{0\\1\\1}[/mm] (mit (-1)
> multipliziert, damit es schöner aussieht) eine Basis von U
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Sa 04.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja das dachte ich mir auch, dass du es so gemacht hast - aber hast du dir auch die Begründung dafür durchgelesen, warum man die Vektoren als ZEILEN in Matrix schreibt und dann NUR zeilenoperationen macht?
(damit die ergebniszeilen weiterhin im selben Erzeugnis sind)
Wenn du die Vektoren uuuuunbedingt als Spalten schreiben willst, dann darfst du also NUR spaltenoperationen machen und du musst dann natürlich versuchen die Transponierte meiner endmatrix zu erreichen (also keine klassische Zeilenstufenform) - und dann sind auch alle Nicht-Null-SPALTEN deine Basisvektoren...
aber mal ganz im ernst : es ist wesentlich einfacher zu sagen:
Vektoren als Zeilen, dann mittels Gauß in Zeilenstufenform, dann sind alle Nicht-Nullzeilen deine Basis des Erzeugnisses, oder?
(anstatt noch die gauß-ähnlichen spaltenoperationen und die gewünschte Endform ordentlich zu definieren)
viele Grüße
DaMenge
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