Bestimmung einer Funktion < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme die ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch A (-3|3) B (0|3) C (3|3) geht und die x-Achse berührt. |
Brauche ja 4 Bedingungen, nur weiß ich nicht wie man genau mit der 4. Bedingung (berührt die x-Achse) umgeht.
y ist dort ja =0 und die erste Ableitung auch.
Aber wie finde ich heraus wo der x-Punkt liegt?
Der kann ja zwischen A und B oder B und C liegen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
setzte zunächst eine allgemein ganzrat. Funktion 3. Gerades an:
[mm] f(x):=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
Dann hast du ja schon drei Punkte vorgegeben. D.h. du hast schon drei Variablen festgelegt.
Dann weist du, dass an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] die x-Achse berührt. D.h. an einer Nullstelle deiner Funktion gilt: [mm] f'(x_0)=0, [/mm] denn sonst würde die x-Achse ja nicht berührt. D.h. du hast zwei Bedingungen für dein x: Es muss einmal gelten: [mm] f(x_0)=0 [/mm] und [mm] f'(x_0)=0 [/mm] Also einmal die Funktion ableiten und dann die Beiden bedingungen einsetzen, und versuchen, dass LGS lösen zu können.
LG
Kroni
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Gleichungen wären dann ja für
A: -9a+6b-3c+d=3
B: d=3
C: 9a+6b+3c+d=3
Die erste Ableitung wäre: 3ax²+2bx+c=0 und für [mm] x_{0} [/mm] würde auch noch gelten ax³+bx²+cx+d=0
kann man die beiden gleichungen gleichsetzten und so als vierte Gleichung in das GS übernhemen?
Habe dies gemacht und in den CAS Modus eingegeben habe für b=0 erhalten und für a und c jeweils was mit x
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Hi, mathematicus1,
> Gleichungen wären dann ja für
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> A: -9a+6b-3c+d=3
> B: d=3
> C: 9a+6b+3c+d=3
>
> Die erste Ableitung wäre: 3ax²+2bx+c=0 und für [mm]x_{0}[/mm] würde
> auch noch gelten ax³+bx²+cx+d=0
>
> kann man die beiden gleichungen gleichsetzten und so als
> vierte Gleichung in das GS übernhemen?
Natürlich NICHT!
> Habe dies gemacht und in den CAS Modus eingegeben habe für
> b=0 erhalten und für a und c jeweils was mit x
Parameter in Abhängigkeit von x? WORST CASE!
Von vorne:
Ich würde NICHT mit dem üblichen Ansatz (siehe oben) rechnen, sondern folgendermaßen vorgehen:
f(x) = k*(x - [mm] a)^{2}*(x [/mm] - b).
Dann hast Du nur 3 (!) Unbekannte (k, a, b), die Du mit Hilfe der 3 gegebenen Punkte ermitteln kannst.
Die Tatsache, dass eine Nullstelle doppelt ist (x=a), ist hier schon berücksichtigt!
Aber aufpassen: Wenn Du Dir die Situation mal skizzierst, dann wirst Du merken, dass es ZWEI Lösungen geben muss!
mfG!
Zwerglein
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wie kommt man zu dieser formel?
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Hi, mathematicus,
> wie kommt man zu dieser formel?
Mit ein bisschen Nachdenken: Eine Funktion 3. Grades mit einer doppelten Nullstelle (x=a) muss noch eine einfache Nullstelle haben (x=b).
Nur hab' ich beim Durchrechnen gemerkt, dass auch dieser Ansatz nicht viel besser ist als der andere.
Drum hier eine bessere Methode:
Da die drei Punkte gleiche y-Koordinate haben, muss der mittlere, also B(0;3) das Symmetriezentrum des Graphen sein.
Wäre (0;0) das Symmetriezentrum, so hätte der Funktionsterm folgendes Aussehen: [mm] f(x)=a*x^{3} [/mm] + b*x.
In unserem Fall ist der Graph einfach um 3 nach oben verschoben worden.
Daher: f(x) = [mm] a*x^{3} [/mm] + b*x + 3.
Da die Lage der doppelten Nullstelle bei diesem Ansatz nicht berücksichtigt ist, hast Du aber auch hier 3 Unbekannte auszurechnen - nur geht's leichter als bei meinem ersten Vorschlag!
Übrigens ist das Ergebnis reichlich seltsam:
Ist das wirklich eine Aufgabe aus der 9. Klasse?!
Oder stammt die vielleicht aus irgendeinem Mathe-Wettbewerb?!
mfG!
Zwerglein
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10. Klasse und stammt so aus unserem Mathematikunterricht. Habe mein Profil noch nicht aktualisiert.
Danke für die Antwort
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