Bestimmung ganzr. Funktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Galboa |
Guten Tag,
hab 'ne Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme. Sie ist auf Englisch gestellt, was die Sache nicht vereinfacht. Ich versuch's mal zu übersetzen. Folgendes Problem:
Es soll eine Achterbahn konstruiert werden. Man hat nun 2 Geraden die mit einem Teil einer Parabel verbunden werden.
Die Steigung der einen Geraden ist 0,8 , die von der 2. ist -1,6. die beiden Geraden sind Tangenten der Parabel in den Punkten P und Q (= die Übergangspunkte). P wird im Ursprung platziert. Horizontale Entfernung von P und Q ist 100m.
Nun soll man eine Gleichung für die Parabel f(x)= ax²+bx+c finden. Das hab ich hinbekommen.
P hat die Koordinaten (0/0) => 1. f'(0)= 0,8 und 2. c=0
Q hat die x-Koordinate 100 => f'(100)= -1,6
Mit Hilfe einer Matrix gelöst => a= -0.012 und b= 0.8
Man kann jetzt auch noch die Gleichungen der Tangenten bestimmen: T1(x)= 0,8x und T2(x)= -1,6x + 120
Soweit bin ich selber gekommen nun wird die Aufgabe erweitert:
Die Stückweise definierte Funktion (bestehend aus T1(x) für x<0 ; f(x) [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le100 [/mm] und T2 x>100) hat keine andauernde 2. Ableitung. Damit die Achterbahn sich angenehm anfühlt werden die Tangenten mit 2 Funktionen 3. Grades verbunden, die mit einer quadratischen Funktion verbunden sind.
q(x)= ax² + bx + c im Intervall: [mm] 10\le [/mm] x [mm] \le90
[/mm]
g(x)= kx³ + lx² + mx + n im Intervall: [mm] 0\le [/mm] x < 10
h(x)= px³ + qx² + rx + s im Intervall: 90< x [mm] \le [/mm] 100
Nun soll man ein Gleichungssystem mit 11 Unbekannten aufstellen. Was man weiß ist, dass die Funktionen und deren ersten 2 Ableitungen in den Übergangspunkten übereinstimmen.
Da ist dann mein Problem...ich nehm mal an:
g'(0)= 0.8
h'(100)= -1,6
da bin ich dann aber schon am Ende. Vllt. kann mir jemand helfen ;) Wäre sehr nett.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Laxomat |
Hallo Galboa,
ich habe leider nicht die Zeit, das jetzt alles auszurechenen, aber alle nötigen Nebenbedingungen sollten lauten:
01) T1(0)=0=g(0)
02) T1'(0)=0,8=g'(0)
03) T1''(0)=0=g''(0)
04) g(10)=q(10)
05) g'(10)=q'(10)
06) g''(10)=q''(10)
07) T2(100)=0=h(100)
08) T2'(100)=-1,6=h'(100)
09) T2''(100=0=h''(100)
10) h(90)=q(90)
11) h'(90)=q'(90)
12) h''(90)=q''(90)
So ist eben gewährleistet, dass die Teilfunktionen miteinander verbunden sind und in den ersten beiden Ableitungen übereinstimmen. Vielleicht hilft das ja schonmal weiter. Falls irgendwelche Nebenbedingungen nicht klar sein sollten, einfach nochmal melden!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Galboa |
Hmm glingt alles logisch und ich kann auch alles nachvollziehen, aber wieso ist denn T2(100)=0? bzw. warum ist T2''(100)=0? Alles andere leuchtet mir ein, aber das nicht? Wenn du mir das noch erklären könntest, wäre deine Antwort perfekt und ich wäre dir sehr dankbar ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Laxomat |
Also P liegt ja im Ursprung (0;0) und Q hat den horizontalen Abstand 100, liegt also dementsprechend bei (100;0). Da Q auf T2 liegt, muss T2(100)=0 sein.
Ausserdem handelt es sich bei T2 ja um eine (Halb-)Gerade, ist also linear und damit ist die zweite Ableitung konstant Null, insbesondere für T2''(100).
Generell sind die Bed. 07) bis 12) vollkommen analog zu denen von 01) bis 06) nur eben einmal für T1 und g und einemal für T2 und h.
Ich hoffe, jetzt ist alles klar...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Galboa |
Du irrst dich. T2(x) ist nicht 0. und auch der Punkt Q hat die Koordinaten (100/-40) und nicht den y-Wert 0. Aber ansonsten ist alles richtig und ich hab auch alles gelöst. Danke dir, warst sehr hilfreich :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Laxomat |
Ahh... ja, sorry! Ich habe den horizontalen Abstand versehentlich mit dem absoluten Abstand gleichgesetzt! Mein Fehler... *mich in die Ecke stell und schäm*
Aber freut mich trotzdem, wenn ich etwas weiterhelfen konnte.
Gruss, Laxomat
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Galboa |
Hmm ein Frage bleibt aber noch. "Find the difference in elevation between P and Q" Übersetzt würde das wohl sowas wie die Differenz zwischen den Aufrissen von P und Q bedeuten. Aber was ist ein ein Aufriß? bzw. was soll man da berechnen und wie? Wenn mir das noch jemand benatworten könnte, kann ich beruhigt schlafen gehen ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Fr 29.06.2007 | | Autor: | rainerS |
Hi,
> Hmm ein Frage bleibt aber noch. "Find the difference in
> elevation between P and Q" Übersetzt würde das wohl sowas
> wie die Differenz zwischen den Aufrissen von P und Q
> bedeuten.
Ich würde das mit "Finde den Unterschied in der Höhe von P und Q" übersetzen.
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Laxomat |
Ich merke gerade, dass bei dir die Tangentengleichung für T2 nicht stimmt. Unter der Voraussetzung, dass T2(100)=0 ist, müsste sie dann korrekterweise lauten:
T2(x)=-1,6*x+160
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