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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Di 12.02.2008 | | Autor: | Daystrom |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine meromorphe Funktion f auf [mm] \IC [/mm] mit folgenden drei Eigenschaften:
1) Die Polmenge von f ist [mm] \IZ\setminus [/mm] {0}
2) Alle Pole von f haben die Ordnung 1.
3) Das Residuum von f bei n [mm] \in \IZ \setminus [/mm] {0} ist n |
Hallo,
habe mir als erstes folgendes überlegt: Wenn ich eine rationale Funktion habe mit einem Polynom im Nenner, dann könnte das funktionieren, z.B.:
[mm]
f(z) = \bruch{1}{\produkt_{k=-\infty, k\not=0}^{\infty} (z - k)}
[/mm]
Das Problem ist aber, dass
[mm]
Res(f,n) = \limes_{z \to n} (z-n)f(z) = 0
[/mm]
(Oder?  )
So, nächste Idee wäre etwas in folgende Richtung gewesen:
[mm]
f(z) = \bruch{z}{sin z}
[/mm]
Da hätte ich zwar auch Nullstellen an den ganzen Zahlen, aber in diesem Fall habe ich ja keine Polstellen, sondern nur hebbare Singularitäten. (Ausnahme für z = 0 müsste natürlich noch definiert werden.)
Kann mir jemand einen Tip geben, wie ich weiterkommen könnte?
ciao
Phil
PS: Ich habe die Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
PPS: Die Aufgabe stammt aus dem bayerischen Staatsexamen für Mathematik im Frühjahr 2004.
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[mm]f(z) = \frac{z}{\sin z}[/mm] hat außer bei [mm]z=0[/mm] bei allen ganzzahligen Vielfachen von [mm]\pi[/mm] Polstellen der Ordnung 1. Durch die Vorzeichenänderung des Sinus bei Addition von [mm]\pi[/mm] bekommt man das allerdings mit den Residuen nicht wie gewünscht hin.
Du bist aber schon nahe dran. Versuche es einmal mit einem ähnlichen Ansatz, der [mm]\cot z[/mm] benutzt.
Oder sollst du eine Partialbruchreihe angeben? (Mittag-Leffler)
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