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| Aufgabe | Bestimme [mm] n_1, n_2 \in \IN [/mm] minimal, sodass
a) [mm] (m+1)!\ge 2^m [/mm] , [mm] \forall m\in \IN, m\ge n_1
[/mm]
b) [mm] m!\ge2^m [/mm] , [mm] \forall m\in \IN, m\ge n_2 [/mm] |
Hallo an alle,
man muss doch sicherlich erstmal diese Ungleichungen durch Induktion beweisen, oder??
Aber wie bestimme ich dann diese [mm] n_1 [/mm] und [mm] n_2??
[/mm]
Danke schon mal für Hilfe.
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimme [mm]n_1, n_2 \in \IN[/mm] minimal, sodass
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> a) [mm](m+1)!\ge 2^m[/mm] , [mm]\forall m\in \IN, m\ge n_1[/mm]
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> b) [mm]m!\ge2^m[/mm] , [mm]\forall m\in \IN, m\ge n_2[/mm]
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> Hallo an alle,
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> man muss doch sicherlich erstmal diese Ungleichungen durch
> Induktion beweisen, oder??
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Erstmal mußt Du doch wissen, was Du per Induktion zeigen möchtest, dh. Du benötigst zuerst [mm] n_1 [/mm] bzw. [mm] n_2.
[/mm]
> Aber wie bestimme ich dann diese [mm]n_1[/mm] und [mm]n_2??[/mm]
Ich würde das mal für [mm] n_1=1,2,3 [/mm] ... ausprobieren, einen Verdacht für ein kleinstmögliches [mm] n_1 [/mm] schöpfen und dies dann durch Induktion zu zeigen versuchen.
Wenn's irgendwie mit der Induktion nicht klappt, muß man nochmal in sich gehen und überlegen, ob man wirklich das richtige [mm] n_1 [/mm] gefunden hat.
Gruß v. Angela
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Hi Angela,
die Sache ist gerade nur, ich weiß nicht genau, welche Zahl [mm] n_1 [/mm] im ersten Fall sein soll.
> a) $ [mm] (m+1)!\ge 2^m [/mm] $ , $ [mm] \forall m\in \IN, m\ge n_1 [/mm] $
Wenn ich jetzt z.B. m=1 einsetze, dann erhalte ich ja
[mm] (1+1)!\ge 2^1
[/mm]
welche Zahl ist jetzt mein [mm] n_1? [/mm] Kannst du mir das vielleicht nochmal erklären?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Fr 22.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du hast - völlig korrekt - herausgefunden, dass das ganze für alle m grössergleich 1 gilt.
Was ist nun dein [mm] n_{1}?
[/mm]
Marius
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Hi,
achso, d.h. mein [mm] n_1 [/mm] ist 1, richtig??
ich versuche mal, dass jetzt induktiv zu beweisen
Beh. mein minimales [mm] n_1 [/mm] ist 1.
Beweis, Induktion über m.
I.A. Sei [mm] m=n_1=1, [/mm] dann erhalten wir:
[mm] (1+1)!\ge 2^1 [/mm]
[mm] 2\ge [/mm] 2
I.V. Für ein beliebiges k > 1 [mm] \in \IN [/mm] gelte:
[mm] (k+1)!\ge 2^k
[/mm]
I.S. zu zeigen: Aus der I.V. folgt dann auch:
[mm] ((k+1)+1)!\ge 2^{k+1} [/mm] , k>1
[mm] ((k+1)+1)!=(k+2)!=(k+2)(k+1)!=(k+2)(k+1)k!=(k^2+3k+2)k!=......\ge 2^k2^1 [/mm] = [mm] 2^{k+1} [/mm]
Hmmm, ich weiß gerade nicht, wie ich dazwischen rechnen soll? also bei =....=
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Fr 22.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hi,
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> achso, d.h. mein [mm]n_1[/mm] ist 1, richtig??
Korrekt
>
> ich versuche mal, dass jetzt induktiv zu beweisen
>
>
> Beh. mein minimales [mm]n_1[/mm] ist 1.
>
> Beweis, Induktion über m.
>
> I.A. Sei [mm]m=n_1=1,[/mm] dann erhalten wir:
>
> [mm](1+1)!\ge 2^1[/mm]
> [mm]2\ge[/mm] 2
>
> I.V. Für ein beliebiges k > 1 [mm]\in \IN[/mm] gelte:
>
> [mm](k+1)!\ge 2^k[/mm]
>
> I.S. zu zeigen: Aus der I.V. folgt dann auch:
>
> [mm]((k+1)+1)!\ge 2^{k+1}[/mm] , k>1
Soweit alles korrekt.
>
>
> [mm]((k+1)+1)!=(k+2)!=(k+2)(k+1)!=(k+2)(k+1)k!=(k^2+3k+2)k!=......\ge 2^k2^1[/mm]
> = [mm]2^{k+1}[/mm]
>
>
> Hmmm, ich weiß gerade nicht, wie ich dazwischen rechnen
> soll? also bei =....=
>
>
Du nutzt die Induktionsvoraussetzung gar nicht:
[mm]((k+1)+1)!=(k+2)\cdot(k+1)!\stackrel{Ind. V.}{\geq}(k+2)2^{k}\stackrel{k+2\geq2\forall n\in\IN}{\geq}2\cdot2^{k}=\ldots [/mm]
Marius
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Hi,
ok vielen Dank.
Und bei der zweiten Gleichung müsste doch [mm] n_2=4 [/mm] sein, richtig?
Denn dann bekommen wir
[mm] 4!>2^4
[/mm]
24>16
für m<4 ist die rechte Seite immer größer, deswegen kann [mm] n_2 [/mm] nur 4 sein. Und das zeige ich dann analog wie in a) mit Induktion.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Fr 22.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hi,
>
> ok vielen Dank.
>
> Und bei der zweiten Gleichung müsste doch [mm]n_2=4[/mm] sein,
> richtig?
>
> Denn dann bekommen wir
>
> [mm]4!>2^4[/mm]
> 24>16
>
> für m<4 ist die rechte Seite immer größer, deswegen kann
> [mm]n_2[/mm] nur 4 sein. Und das zeige ich dann analog wie in a) mit
> Induktion.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Marius
P.S.: Die erste Aufgabe könnte man übrigens auch schon mit n=0 starten lassen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Fr 22.04.2011 | | Autor: | steve.joke |
Hi,
Ok vielen Dank für die Hilfe.
Grüße.
p.s. wir haben die [mm] \IN-Zahlen [/mm] ohne die 0 definiert, deswegen habe ich bei 1 begonnen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Fr 22.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hi,
>
> Ok vielen Dank für die Hilfe.
>
> Grüße.
>
> p.s. wir haben die [mm]\IN-Zahlen[/mm] ohne die 0 definiert,
> deswegen habe ich bei 1 begonnen.
Okay, das ist eindeutig, aber ob die Null zu den natürlichen Zahölen gehört, darüber gibt es eine Menge Bücher/Literatur/Streit 
Marius
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