Bestimmung von A_f und A_g < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Mi 13.11.2013 | | Autor: | jayw |
| Aufgabe | Bestimmen Sie [mm] A_f [/mm] und [mm] A_g [/mm] für die linearen Abbildungen $f : [mm] \IR^3 \rightarrow \IR^2$ [/mm] und $g : [mm] \IR^3 \rightarrow \IR^2$ [/mm] mit
[mm] f(e_1)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, f(e_2)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, f(e_3)=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] und
[mm] g\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},g\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, g\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}. [/mm] |
Ich weiß leider nichtmal was damit gemeint ist, geschweige denn, wie ich anfangen soll.
Sind [mm] A_f [/mm] und [mm] A_g [/mm] Matrizen? Falls ja, wie "bestimme" ich diese?
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Hallo,
> Bestimmen Sie [mm]A_f[/mm] und [mm]A_g[/mm] für die linearen Abbildungen [mm]f : \IR^3 \rightarrow \IR^2[/mm]
> und [mm]g : \IR^3 \rightarrow \IR^2[/mm] mit
> [mm]f(e_1)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, f(e_2)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, f(e_3)=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> und
> [mm]g\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},g\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, g\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}.[/mm]
>
> Ich weiß leider nichtmal was damit gemeint ist, geschweige
> denn, wie ich anfangen soll.
> Sind [mm]A_f[/mm] und [mm]A_g[/mm] Matrizen? Falls ja, wie "bestimme" ich
> diese?
Ja, [mm] A_f [/mm] und [mm] A_g [/mm] sind Matrizen. Welche Dimension haben diese? Mache dir das erst einmal klar.
Du weißt sicherlich, dass du Abbildungen in der Form: [mm] x\mapsto [/mm] Ax schreiben kannst. Dabei ist x ein Vektor und A eine Matrix. Diese Matrix A heißt Abbildungsmatrix einer Abbildung.
In der Aufgabe sollen [mm] e_1,e_2,e_3 [/mm] sicherlich die EInheitsvektoren darstellen.
Deine Aufgabe ist es nun die Matrix A so zu bestimmen, dass die gegebenen Abbildungen auch wirklich stimmen.
Beispiele findest du massig im WWW. => Google: Abbildungsmatrix bestimmen.
Wichtig ist übrigens immer, wie die Basis gewählt ist. Vermutlich soll es sich bei deinen Aufgaben immer um die Standardbasis handeln.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mi 13.11.2013 | | Autor: | jayw |
[...]
Danke für deine Antwort.
Jetzt erst einmal nur für $f : [mm] \IR^3 \rightarrow \IR^2$.
[/mm]
> Ja, [mm]A_f[/mm] und [mm]A_g[/mm] sind Matrizen. Welche Dimension haben
> diese? Mache dir das erst einmal klar.
Ist die Dimension das gleiche wie der Rang? Also die Anzahl der Zeilen [mm] \not= [/mm] 0? Dann wäre das für $f$ eine Matrix 2. Ranges?
> Du weißt sicherlich, dass du Abbildungen in der Form:
> [mm]x\mapsto[/mm] Ax schreiben kannst. Dabei ist x ein Vektor und A
> eine Matrix. Diese Matrix A heißt Abbildungsmatrix einer
> Abbildung.
>
> In der Aufgabe sollen [mm]e_1,e_2,e_3[/mm] sicherlich die
> EInheitsvektoren darstellen.
Also [mm] $e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},e_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}
[/mm]
>
> Deine Aufgabe ist es nun die Matrix A so zu bestimmen, dass
> die gegebenen Abbildungen auch wirklich stimmen.
[...]
[mm] A_f=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
[/mm]
So "billig" ist das doch nicht?
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Guten Morgen,
doch, in diesem Fall ist es so einfach. Das ist gerade das schöne bei den Einheitsvektoren. Das kann man sich merken.
Die Dimension einer Matrix ist nicht gleich dem Rang. Du kennst ja sicherlich [mm] m\times{n}-Matrizen. [/mm] Dabei sind m die Zeilen, und n die Spalten. Genau darum geht es hier. Wenn du so willst, multiplizierst du ja zwei Matrizen miteinander:
A hat die Dimension [mm] 2\times3 [/mm] und der Vektor die Dimension [mm] 3\times1. [/mm] Durch Multiplikation erhält man dann [mm] 2\times1. [/mm] Also genau solch ein Vektor, der in [mm] \IR^2 [/mm] liegt. Genau das wollte man ja erreichen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:39 So 17.11.2013 | | Autor: | jayw |
Okay, nochmal zum Verständnis für mich:
Wenn also nach einer Abbildungsmatrix gefragt ist, dann suche ich diejenige Matrix, die mit dem gegebenen [mm] $f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ [/mm] multipliziert den gesuchten Vektor aus dem [mm] \IR^n [/mm] ergibt?
D.h. ich stelle eine Matrix mit nxm unbekannten auf, löse diese LGS auf und habe die Matrix?
Das entfällt dann natürlich wenn das [mm] $f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ [/mm] der Einheitsvektor ist, da ich dann das Ergebnis direkt ablesen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 19.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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