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| Aufgabe | Man zeige: A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 2 } [/mm] ist über [mm] \IR [/mm] diagonalisierbar.
Man bestimme Eigenwerte und Eigenräume und gebe ein S [mm] \in [/mm] GL [mm] (2,\IR)an, [/mm] so dass [mm] S^{-1} [/mm] AS Diagonalgestalt hat. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So, habe Probleme bei der Bestimmung der Eigenräume, denn bei der Lösung des homogenen GlS kommt bei mir immer nur die triviale Lösung raus, was ja schon rein logisch nicht sein kann.
Meine Eigenwerte müssten stimmen,
ich erhalte: [mm] \lambda_{1}: [/mm] 1 + [mm] \wurzel{2}
[/mm]
und [mm] \lambda_{2}: [/mm] 1- [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Für die Eigenräume muss ich ja nur den Kern [mm] (A-\lambda E_{n}) [/mm] berechnen, also das homogene GLS:
[mm] (-1-\wurzel{2}) x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 0
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] (1-\wurzel{2})x_{2} [/mm] = 0
Wie gesagt, bei mir kommt Null raus...
Könnt ihr mir da weiterhelfen und mich auf einen Denk- oder Rechenfehler meinerseits aufmerksam machen?
Vielen lieben Dank,
Julia
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Hallo Julia,
> Man zeige: A = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm] ist über [mm]\IR[/mm]
> diagonalisierbar.
> Man bestimme Eigenwerte und Eigenräume und gebe ein S [mm]\in[/mm]
> GL [mm](2,\IR)an,[/mm] so dass [mm]S^{-1}[/mm] AS Diagonalgestalt hat.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> So, habe Probleme bei der Bestimmung der Eigenräume, denn
> bei der Lösung des homogenen GlS kommt bei mir immer nur
> die triviale Lösung raus, was ja schon rein logisch nicht
> sein kann.
> Meine Eigenwerte müssten stimmen,
> ich erhalte: [mm]\lambda_{1}:[/mm] 1 + [mm]\wurzel{2}[/mm]
> und [mm]\lambda_{2}:[/mm] 1- [mm]\wurzel{2}.[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") stimmt
> Für die Eigenräume muss ich ja nur den Kern [mm](A-\lambda E_{n})[/mm]
> berechnen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , also das homogene GLS:
>
> [mm](-1-\wurzel{2}) x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] = 0
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm](1-\wurzel{2})x_{2}[/mm] = 0
> Wie gesagt, bei mir kommt Null raus... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
nö, irgendwie kommt da nicht 0 raus 
Ich schreibs mal in Matrixschreibweise wegen der besseren Übersicht:
[mm] $(A-\lambda_1\cdot{}\mathbb{E}_2)=\pmat{ -1-\sqrt{2} & 1 \\ 1 & 1-\sqrt{2} }$
[/mm]
Soweit war's ok.
Nun addiere mal die 1.Zeile zum [mm] $(1+\sqrt{2})$ [/mm] -fachen der 2.Zeile
Das gibt [mm] \pmat{ -1-\sqrt{2} & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Also ganz prima ne Nullzeile, setzten wir nun [mm] $x_2=t, t\in\IR$
[/mm]
Dann ist mit Zeile 1: [mm] $(-1-\sqrt{2})x_1+t=0\Rightarrow x_1=\frac{t}{1+\sqrt{2}}$
[/mm]
Also [mm] $Kern(A-\lambda_1)=\{t\cdot{}\vektor{\frac{1}{1+\sqrt{2}}\\1}\mid t\in\IR\}=\{\tilde{t}\cdot{}\vektor{1\\1+\sqrt{2}}\mid \tilde{t}\in\IR\}$
[/mm]
Damit [mm] $Eig(A,\lambda_1)=\langle\vektor{1\\1+\sqrt{2}}\rangle$
[/mm]
Also hast du zu [mm] \lambda_1 [/mm] zB den EV [mm] v_1=\vektor{1\\1+\sqrt{2}}
[/mm]
zu [mm] \lambda_2 [/mm] analog...
> Könnt ihr mir da weiterhelfen und mich auf einen Denk- oder
> Rechenfehler meinerseits aufmerksam machen?
> Vielen lieben Dank,
> Julia
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mo 08.10.2007 | | Autor: | BieneJulia |
Vielen Dank.
Hab das ja auch auf Null gebracht in der Matrix, aber hab mich da wohl verrechnet, denn sonst hätte ich ja ne Nullzeile raus bekommen.
also , danke :)
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