Bestimmung von Eigenwerten < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Fr 02.09.2005 | | Autor: | mCo |
Hallo,
ich soll für alle a [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] die Eigenwerte der Matrix A = [mm] \pmat{ 4 & 2 & -2 \\ a & 4 & 2 \\ -a & 2 & 4} [/mm] bestimmen.
Das char. Polynom habe ich zu: p(x) = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] 12x^{2} [/mm] - (4a-44)x - 48 + 24a berechnet.
Meine Frage ist nun, wie ich die Eigenwerte (also Nullstellen) bestimme. Raten ist (zumindest für mich  ) in diesem Fall recht schwierig und die "Faustregel": Nullstellen sind Vielfache des absoluten Glieds, hilft in meinen Augen hier auch nicht weiter.
Im weiteren Verlauf der Aufgabe, soll man a = 2 annehmen, was das ganze natürlich viel Einfacher macht, aber einen "allgm." von a abhängigen Ausdruck für die Eigenwerte finde ich nicht.
Da beim Intervall aus dem a gewählt wird, die Null und negative Werte ausgeschlossen werden, habe ich auch schon an Division durch a bzw. Ungleichungen gedacht, aber mir fällt in diesem Zusammenhang nichts Nützliches ein.
Reicht es evtl. sogar, einfach nur das o.a. char. Polynom anzugeben, ohne die Nullstellen auszurechnen?
Für Antworten und Tips schon vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich soll für alle a [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty)[/mm] die Eigenwerte der
> Matrix A = [mm]\pmat{ 4 & 2 & -2 \\ a & 4 & 2 \\ -a & 2 & 4}[/mm]
> bestimmen.
> Das char. Polynom habe ich zu: p(x) = [mm]x^{3}[/mm] + [mm]12x^{2}[/mm] -
> (4a-44)x - 48 + 24a berechnet.
Maple sagt:
[mm]x^3 - 12 x^2 + (44 - 4a) x + 24 a - 48[/mm]
(Maple benutzt [mm]\det(x \cdot I - A)[/mm])
Da ist wohl ein Vorzeichenfehler bei dir.
> Meine Frage ist nun, wie ich die Eigenwerte (also
> Nullstellen) bestimme. Raten ist (zumindest für mich )
> in diesem Fall recht schwierig und die "Faustregel":
> Nullstellen sind Vielfache des absoluten Glieds, hilft in
> meinen Augen hier auch nicht weiter.
Maple sagt:
Die Eigenwerte sind [mm]6, 3+\sqrt{1+4a},3-\sqrt{1+4a}[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Fr 02.09.2005 | | Autor: | mCo |
Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.
Ok, da hat Maple wohl etwas besser gerechnet als ich. 
Aber auch mit dem korrekten char. Polynom komme ich nicht "von Hand" auf die Nullstellen.
Wie kann ich denn Nullstellen eines Polynoms bestimmten, ohne zunächst eine Nullstelle zu erraten? Wie macht Maple das zum Bsp.? Ich habe einen Ansatz gefunden, bei dem ich zunächst über den Euklidschen Algorithmus den ggT vom eigentlichen Polynom und dessen Ableitung bestimme. Dann teile ich das eigentliche Polynom durch diesen ggT. Das ist aber sehr aufwändig. Geht es auch schneller/einfacher?
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Hallo,
für Polynome mit grad 2 gibts die berühmte p-q-Formel zur Nullstellenbestimmung, für Grad 3 gibts Formeln von Cardano (der mit der Aufhängung), für Grad 4 Formeln von Ferrari (nicht der Ferrari) und für Grad > 4 hat Abel gezeigt, dass es keine allg. Lösung gibt.
Nullstellenbestimmung von Polynomen geht i.A. nur durch konvergente Algorithmen.
Grüße, R.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Sa 03.09.2005 | | Autor: | mathedman |
> Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.
> Ok, da hat Maple wohl etwas besser gerechnet als ich.
> Aber auch mit dem korrekten char. Polynom komme ich nicht
> "von Hand" auf die Nullstellen.
In diesem Fall
[mm]x^3 - 12x^2 + (44-4a)x + 24 - 48a[/mm]
kommt man ja zum Ziel, wenn man die gemeinsamen Teiler von 24 und 48 durchprobiert: 1,2,3,4,6,8,12,24.
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