Bestimmung von Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
ich habe ein Problem bei einer Aufgabe.
Folgende Funktion ist gegeben:
[mm]f(x,y)=12xy-2x^2-4y^3 [/mm]
Es sollen zuerst die Lage und Art der lokalen Extram bestimmt werden.
Also habe ich zuerst die partiellen Ableitungen gebildet, auch für die spätere Einsetzung in die Hesse Matrix.
[mm] f_x=12y-4x[/mm]
[mm] f_{xx}=-4 [/mm]
[mm] f_{xy}=12 [/mm]
[mm] f_y=12x-12y^2[/mm]
[mm] f_{yy}=-24y[/mm]
[mm] f_{yx}=0 [/mm]
Nun wollte ich gerne die stationären Punkte bestimmen, aber komm zu meinem Problem, denn wir haben ansonsten nur Aufgaben mit einer E-Funktion behandelt, dass nur x oder y- Terme gleich Null gesetzt wurden.
Wenn ich jetzt also
[mm] f_x=12y-4x=0 \qquad f_y=12x-12y^2=0[/mm]
Wie kann ich sowas lösen?
Vielen Dank im Voraus und Gruß 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Hallo Leute,
> ich habe ein Problem bei einer Aufgabe.
>
> Folgende Funktion ist gegeben:
> [mm]f(x,y)=12xy-2x^2-4y^3[/mm]
>
> Es sollen zuerst die Lage und Art der lokalen Extram
> bestimmt werden.
>
> Also habe ich zuerst die partiellen Ableitungen gebildet,
> auch für die spätere Einsetzung in die Hesse Matrix.
> [mm]f_x=12y-4x[/mm]
> [mm]f_{xx}=-4[/mm]
> [mm]f_{xy}=12[/mm]
> [mm]f_y=12x-12y^2[/mm]
> [mm]f_{yy}=-24y[/mm]
> [mm]f_{yx}=0[/mm]
Ein kleiner Fehler: es ist
[mm] f_{yx}=f_{xy}=12
[/mm]
>
> Nun wollte ich gerne die stationären Punkte bestimmen,
> aber komm zu meinem Problem, denn wir haben ansonsten nur
> Aufgaben mit einer E-Funktion behandelt, dass nur x oder y-
> Terme gleich Null gesetzt wurden.
>
> Wenn ich jetzt also
> [mm]f_x=12y-4x=0 \qquad f_y=12x-12y^2=0[/mm]
>
> Wie kann ich sowas lösen?
Das ist ja ein Gleichungssystem. Stelle etwa die erste Gleichung nach x um umd gehe damit in die zweite Gleichung ein (für nichtlineare Gleichungssysteme ist ja das Einsetzen von einzelnen Gleichungen in andere oftmals das Mittel der Wahl).
Gruß, Diophant
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Hey!
Vielen Dank für die Begrüßung!
Ich habe das jetzt mal versucht und habe also
[mm] x=\frac{1}{3}y \quad in \quad f_y=12x-12y^2[/mm] eingesetzt und komme dann auf [mm]y_{1/2}= \pm \sqrt{\frac{1}{3}}[/mm]
Ergeben sich die x Komponente jetzt einfach in dem ich y in [mm] x=\frac{1}{3}y [/mm] einsetze oder muss ich das gar in die Ausgangsfunktion einsetzen und dann die auftretende quadratische Funktion nochmal lösen?
Von wie vielen stationären Punkten ist auszugehen, ist das am Grad der Funktion ablesbar?
Vielen Dank und Gruß
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Hallo mtr-studi,
> Hey!
>
> Vielen Dank für die Begrüßung!
>
> Ich habe das jetzt mal versucht und habe also
>
> [mm]x=\frac{1}{3}y \quad in \quad f_y=12x-12y^2[/mm] eingesetzt und
> komme dann auf [mm]y_{1/2}= \pm \sqrt{\frac{1}{3}}[/mm]
>
Löst man [mm]fx=0[/mm] nach x auf, so folgt daraus [mm]x=3y[/mm]
> Ergeben sich die x Komponente jetzt einfach in dem ich y in
> [mm]x=\frac{1}{3}y[/mm] einsetze oder muss ich das gar in die
> Ausgangsfunktion einsetzen und dann die auftretende
> quadratische Funktion nochmal lösen?
>
Das erhaltene y in x=3y einsetzen
und Du erhältst den zugehörigen x-Wert.
> Von wie vielen stationären Punkten ist auszugehen, ist das
> am Grad der Funktion ablesbar?
>
Das kommt auf die Lösungsmenge des Gleichungssystems
[mm]f_x=0, \ f_y=0[/mm]
an.
> Vielen Dank und Gruß
Gruss
MathePower
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Oh stimmt das war ein Flüchtigkeitsfehler.
Ich bin jetzt auf [mm] \lambda_1=3 [/mm] und [mm] \lambda_2=0 [/mm] gekommen und somit auf
stationäre Punkte von (9,3) und (0,0)
Also habe ich diese in die Hesse-Matrix mit
[mm] Hf(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix} [/mm] aufgestellt und die stationären Punkte eingesetzt.
Hf(9,3)=det [mm] \begin{pmatrix} -4& 12\\ 12 & -72\end{pmatrix} [/mm] = 288-144=144
Der Punkt ist somit positiv definit und ein Minimum?
Hf(0,0)=det [mm] \begin{pmatrix} -4& 12\\ 12 & 0\end{pmatrix} [/mm] = 0-144= -144
Dieser Punkt ist somit negativ definit und ein Maximum?
Nun soll die Gleichung der Tangetialebene im Punkt (1;0;-2) des Graphen von f angegeben werden.
Das kenne ich nun so:
[mm] T=f(x_0,y_0)+((f(x_0,y_0), fy(x_0,y_0))\dbinom{x-x_0}{y-y_0}
[/mm]
Wie soll das aber mit 3 Koordinaten funktionieren bei 2 Parametern oder nimmt man anstatt meines [mm] f(x_0,y_0) [/mm] am Anfang der Gleichung der Tangentialebene [mm] z_0=-2? [/mm]
Vielen Dank im Voraus und Gruß
EDIT: Mir ist direkt bei der P/Q Formel ein Fehler unterlaufen und habe somit dies und alle Folgefehler korrigiert
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Hallo mtr-studi,
> Oh stimmt das war ein Flüchtigkeitsfehler.
>
> Ich bin jetzt auf [mm]\lambda_{12}=\pm \frac{3}{2}[/mm] gekommen und
> somit auf
>
> stationäre Punkte von [mm]\frac{9}{2}[/mm] und [mm]\frac{-9}{2}[/mm]
>
> Also habe ich diese in die Hesse-Matrix mit
>
> [mm]Hf(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix}[/mm]
> aufgestellt und die stationären Punkte eingesetzt.
>
>
> [mm]Hf(\frac{9}{2}(,\frac{3}{2})=det \begin{pmatrix} -4& 12\\ 12 & -36\end{pmatrix}[/mm]
> = 144-144=0
>
> Der Punkt ist somit ein Flachpunkt??
>
>
> [mm]Hf(-\frac{9}{2}(,-\frac{3}{2})=det \begin{pmatrix} -4& 12\\ 12 & 36\end{pmatrix}[/mm]
> = -144-144=288
>
> Dieser Punkt ist somit positiv definit und ein Minimum?
>
> Nun soll die Gleichung der Tangetialebene im Punkt (1;0;-2)
> des Graphen von f angegeben werden.
>
> Das kenne ich nun so:
>
> [mm]T=f(x_0,y_0)+((f(x_0,y_0), fy(x_0,y_0))\dbinom{x-x_0}{y-y_0}[/mm]
>
> Wie soll das aber mit 3 Koordinaten funktionieren bei 2
> Parametern oder nimmt man anstatt meines [mm]f(x_0,y_0)[/mm] am
> Anfang der Gleichung der Tangentialebene [mm]z_0=-2?[/mm]
>
Ich glaube, hier bringst Du etwas durcheinander.
Das was Du da gepostet hast gehört doch zu einer völlig anderen Aufgabe.
> Vielen Dank im Voraus und Gruß
>
Gruss
MathePower
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Ich hatte eben bemerkt, dass ich bei meinem vorherigen Post so gut wie alles falsch hatte und habe das korrigiert.
Also die Aufgabe besteht insgesamt aus 3 Teilen, aber ich hatte bei meinem Eingangspost nur den ersten Teil (Bestimmung von Lage und Art der Extrema) genannt.
Der nächste Aufgabenteil ist dann die Aufstellung der Tangentialebene im Punkt.
Am Ende wird dann noch nach einer Richtungsableitung gefragt.
Muss ich für die weiteren Aufgabenteile weitere Themen erstellen?
Vielen Dank und Gruß
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Hallo mtr-studi,
> Ich hatte eben bemerkt, dass ich bei meinem vorherigen Post
> so gut wie alles falsch hatte und habe das korrigiert.
>
> Also die Aufgabe besteht insgesamt aus 3 Teilen, aber ich
> hatte bei meinem Eingangspost nur den ersten Teil
> (Bestimmung von Lage und Art der Extrema) genannt.
>
> Der nächste Aufgabenteil ist dann die Aufstellung der
> Tangentialebene im Punkt.
>
Siehe dazu hier.
> Am Ende wird dann noch nach einer Richtungsableitung
> gefragt.
>
> Muss ich für die weiteren Aufgabenteile weitere Themen
> erstellen?
>
Nein.
> Vielen Dank und Gruß
Gruss
MathePower
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Hallo mtr-studi,
> Oh stimmt das war ein Flüchtigkeitsfehler.
>
> Ich bin jetzt auf [mm]\lambda_1=3[/mm] und [mm]\lambda_2=0[/mm] gekommen und
> somit auf
>
> stationäre Punkte von (9,3) und (0,0)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also habe ich diese in die Hesse-Matrix mit
>
> [mm]Hf(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix}[/mm]
> aufgestellt und die stationären Punkte eingesetzt.
>
>
> Hf(9,3)=det [mm]\begin{pmatrix} -4& 12\\ 12 & -72\end{pmatrix}[/mm]
> = 288-144=144
>
> Der Punkt ist somit positiv definit und ein Minimum?
>
> Hf(0,0)=det [mm]\begin{pmatrix} -4& 12\\ 12 & 0\end{pmatrix}[/mm] =
> 0-144= -144
>
> Dieser Punkt ist somit negativ definit und ein Maximum?
>
Darüber musst Du nochmal nachdenken.
> Nun soll die Gleichung der Tangetialebene im Punkt (1;0;-2)
> des Graphen von f angegeben werden.
>
> Das kenne ich nun so:
>
> [mm]T=f(x_0,y_0)+((f(x_0,y_0), fy(x_0,y_0))\dbinom{x-x_0}{y-y_0}[/mm]
>
> Wie soll das aber mit 3 Koordinaten funktionieren bei 2
> Parametern oder nimmt man anstatt meines [mm]f(x_0,y_0)[/mm] am
> Anfang der Gleichung der Tangentialebene [mm]z_0=-2?[/mm]
>
Wenn Du nachrechnest, dann ist -2=f(1,0).
> Vielen Dank im Voraus und Gruß
>
>
> EDIT: Mir ist direkt bei der P/Q Formel ein Fehler
> unterlaufen und habe somit dies und alle Folgefehler
> korrigiert
>
Gruss
MathePower
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> Hallo mtr-studi,
>
> > Oh stimmt das war ein Flüchtigkeitsfehler.
> >
> > Ich bin jetzt auf [mm]\lambda_1=3[/mm] und [mm]\lambda_2=0[/mm] gekommen und
> > somit auf
> >
> > stationäre Punkte von (9,3) und (0,0)
> >
>
>
>
>
>
> > Also habe ich diese in die Hesse-Matrix mit
> >
> > [mm]Hf(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix}[/mm]
> > aufgestellt und die stationären Punkte eingesetzt.
> >
> >
> > Hf(9,3)=det [mm]\begin{pmatrix} -4& 12\\ 12 & -72\end{pmatrix}[/mm]
> > = 288-144=144
> >
> > Der Punkt ist somit positiv definit und ein Minimum?
> >
> > Hf(0,0)=det [mm]\begin{pmatrix} -4& 12\\ 12 & 0\end{pmatrix}[/mm] =
> > 0-144= -144
> >
> > Dieser Punkt ist somit negativ definit und ein Maximum?
> >
>
>
> Darüber musst Du nochmal nachdenken.
>
Ich erkennen leider den Fehler nicht, weil wir hatten in der Uni das so gelernt mit den Kriterien, dass die Determinante die Art der Extrema näher bestimmt.
Worüber muss ich genau nochmal nachdenken? :-(
> > Nun soll die Gleichung der Tangetialebene im Punkt (1;0;-2)
> > des Graphen von f angegeben werden.
> >
> > Das kenne ich nun so:
> >
> > [mm]T=f(x_0,y_0)+((f(x_0,y_0), fy(x_0,y_0))\dbinom{x-x_0}{y-y_0}[/mm]
>
> >
> > Wie soll das aber mit 3 Koordinaten funktionieren bei 2
> > Parametern oder nimmt man anstatt meines [mm]f(x_0,y_0)[/mm] am
> > Anfang der Gleichung der Tangentialebene [mm]z_0=-2?[/mm]
> >
>
>
> Wenn Du nachrechnest, dann ist -2=f(1,0).
Was genau sagt mir das jetzt? Auch hier kann ich leider den "Wink" nicht sehen.
Vielen Dank und Gruß
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Hallo mtr-studi,
> > Hallo mtr-studi,
> >
> > > Oh stimmt das war ein Flüchtigkeitsfehler.
> > >
> > > Ich bin jetzt auf [mm]\lambda_1=3[/mm] und [mm]\lambda_2=0[/mm] gekommen und
> > > somit auf
> > >
> > > stationäre Punkte von (9,3) und (0,0)
> > >
> >
> >
> >
> >
> >
> > > Also habe ich diese in die Hesse-Matrix mit
> > >
> > > [mm]Hf(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix}[/mm]
> > > aufgestellt und die stationären Punkte eingesetzt.
> > >
> > >
> > > Hf(9,3)=det [mm]\begin{pmatrix} -4& 12\\ 12 & -72\end{pmatrix}[/mm]
> > > = 288-144=144
> > >
> > > Der Punkt ist somit positiv definit und ein Minimum?
> > >
> > > Hf(0,0)=det [mm]\begin{pmatrix} -4& 12\\ 12 & 0\end{pmatrix}[/mm] =
> > > 0-144= -144
> > >
> > > Dieser Punkt ist somit negativ definit und ein Maximum?
> > >
> >
> >
> > Darüber musst Du nochmal nachdenken.
> >
>
> Ich erkennen leider den Fehler nicht, weil wir hatten in
> der Uni das so gelernt mit den Kriterien, dass die
> Determinante die Art der Extrema näher bestimmt.
> Worüber muss ich genau nochmal nachdenken? :-(
>
Wenn Du schon die Determinanten betrachtest,
dann musst Du alle ![[]](/images/popup.gif) Hauptminoren betrachten.
>
> > > Nun soll die Gleichung der Tangetialebene im Punkt (1;0;-2)
> > > des Graphen von f angegeben werden.
> > >
> > > Das kenne ich nun so:
> > >
> > > [mm]T=f(x_0,y_0)+((f(x_0,y_0), fy(x_0,y_0))\dbinom{x-x_0}{y-y_0}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wie soll das aber mit 3 Koordinaten funktionieren bei 2
> > > Parametern oder nimmt man anstatt meines [mm]f(x_0,y_0)[/mm] am
> > > Anfang der Gleichung der Tangentialebene [mm]z_0=-2?[/mm]
> > >
> >
> >
> > Wenn Du nachrechnest, dann ist -2=f(1,0).
>
> Was genau sagt mir das jetzt? Auch hier kann ich leider den
> "Wink" nicht sehen.
>
> Vielen Dank und Gruß
>
Gruss
MathePower
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Lineare Algebra ist schon etwas her bei mir, ich musste das erstmal nachschlagen.
Dann würde ich sagen
Hf(9,3)=det $ [mm] \begin{pmatrix} -4& 12\\ 12 & -72\end{pmatrix} [/mm] $
ist negativ definit und ein Maximum
Hf(0,0)=det $ [mm] \begin{pmatrix} -4& 12\\ 12 & 0\end{pmatrix} [/mm] $
ist dann weder positiv, noch negativ deinit und ein Sattelpunkt wegen det [mm] \not= [/mm] 0 ?
Leider habe ich jetzt immer noch nicht verstanden wie ich bei meiner Tangententialebene weiterkomme. :-/
Vielen Dank und Gruß
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Hallo mtr-studi,
> Lineare Algebra ist schon etwas her bei mir, ich musste das
> erstmal nachschlagen.
>
> Dann würde ich sagen
>
> Hf(9,3)=det [mm]\begin{pmatrix} -4& 12\\ 12 & -72\end{pmatrix}[/mm]
>
> ist negativ definit und ein Maximum
>
> Hf(0,0)=det [mm]\begin{pmatrix} -4& 12\\ 12 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>
> ist dann weder positiv, noch negativ deinit und ein
> Sattelpunkt wegen det [mm]\not=[/mm] 0 ?
>
Ja.
> Leider habe ich jetzt immer noch nicht verstanden wie ich
> bei meiner Tangententialebene weiterkomme. :-/
>
Benutze die Formel, die Dir gegeben wurde.
> Vielen Dank und Gruß
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | Man berechne von f die Ableitung an der Stelle (1,0) in Richtung des Vektors [mm] v=\vektor{1\\1} [/mm] |
Zur Tangenitalebene
[mm] T=-2+(-4,12)\vektor{x-1 \\y-0}=-2-4(x-1)+12(y-0)=-2-4x+4+12y=-4x+12y+2=z [/mm]
Stimmt das ?
Nun zur Richtungsableitung
Bestimmung des Gradienten
grad [mm] f(x,y)=\vektor{f_x(x,y) \\ f_y(x,y)} [/mm]
grad [mm] f(x,y)=\vektor{f_x(x,y)=-4x+12y \\ f_y(x,y)=12x-12y^2} [/mm]
grad [mm] =\vektor{-4 \\ 12} [/mm]
Bestimmung des Normalenvektors
[mm] \vec{n}=\frac{1}{|\vec{v}|}*\vec{v}
[/mm]
[mm] \vec{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}\vektor{1\\1}
[/mm]
Richtungsableitung
[mm] f_\vector{v}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2}}\vektor{1\\1}\vektor{-4 \\ 12} [/mm]
[mm] f_\vector{v}(x,y)=\frac{8}{\sqrt{2}}
[/mm]
Stimmt das soweit?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
> Man berechne von f die Ableitung an der Stelle (1,0) in
> Richtung des Vektors [mm]v=\vektor{1\\1}[/mm]
> Zur Tangenitalebene
>
> [mm]T=-2+(-4,12)\vektor{x-1 \\y-0}=-2-4(x-1)+12(y-0)=-2-4x+4+12y=-4x+12y+2=z[/mm]
>
> Stimmt das ?
Ja.
>
> Nun zur Richtungsableitung
>
> Bestimmung des Gradienten
>
> grad [mm]f(x,y)=\vektor{f_x(x,y) \\ f_y(x,y)}[/mm]
>
>
> grad [mm]f(x,y)=\vektor{f_x(x,y)=-4x+12y \\ f_y(x,y)=12x-12y^2}[/mm]
>
> grad [mm]=\vektor{-4 \\ 12}[/mm]
>
> Bestimmung des Normalenvektors
> [mm]\vec{n}=\frac{1}{|\vec{v}|}*\vec{v}[/mm]
>
> [mm]\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}\vektor{1\\1}[/mm]
>
> Richtungsableitung
>
> [mm]f_\vector{v}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2}}\vektor{1\\1}\vektor{-4 \\ 12}[/mm]
>
>
> [mm]f_\vector{v}(x,y)=\frac{8}{\sqrt{2}}[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Bis auf die Schreibweise stimmt es. Es muss heißen:
[mm] f_v(1,0)=\bruch{8}{\wurzel{2}}
[/mm]
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Mo 22.07.2013 | | Autor: | mtr-studi |
OK dann hat sich das erledigt.
Vielen Dank an die Helfer!
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