Bestimmung von Extremwerten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe ein großes Verständnisproblem bei der Berechnung von lokalen/globalen Extremwerten be mehrdimensionalen R.
Ich weiß, dass ich die 4 Ableitungen bestimmen muss. Nach x, nach y und die gemischten ABleitungen, die nach dem Satz von Schwarz gleich sind.
Aber was mache ich dann? Ich habe jetzt die Hesse-Matrix kennengelernt, aber ich verstehe nicht ganz, wieso ich differenzieren soll zwischen:
Die gemischten Ableitungen sind =0
Die gemischten ABleitungen sind ungleich 0
Ich habe nämlich, bevor wir die Hesse-Matrix kennengelernt habe gelernt, dass zb lokale Extrema nur da vorliegen, wo die partiellen ABleitungen =0 sind oder in denen eine der partiellen ABleitungen nicht existiert.
Aber das hinreichende Kriterium scheint mir immer die Hesse-Matrix zu sein, wenn ich von mehrdimensionalen Funktionen rede, ist das richtig?
In meinem Kopf herrscht jetzt totales Chaos. :(
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> Hallo,
Hallo 
> Ich habe nämlich, bevor wir die Hesse-Matrix kennengelernt
> habe gelernt, dass zb lokale Extrema nur da vorliegen, wo
> die partiellen ABleitungen =0 sind oder in denen eine der
> partiellen ABleitungen nicht existiert.
Richtig, darum ist dies auch ein notwendiges Kriterium.
> Aber das hinreichende Kriterium scheint mir immer die
> Hesse-Matrix zu sein, wenn ich von mehrdimensionalen
> Funktionen rede, ist das richtig?
Korrekt.
Letztlich ist das nicht anders, als im eindimensionalen, schauen wir es uns mal dort an:
Das notwendige Kriterium im Eindimensionalen ist [mm]f'(x) = 0[/mm].
Die Ableitung im mehrdimensionalen ist halt die Jacobi-Matrix (d.h. die Matrix, die alle partiellen Ableitungen enthält), d.h. dort muss gelten:
[mm]Df(x) = 0[/mm]
Das hinreichende Kriterium für Maxima im Eindimensionalen kennt man aus der Schule, nämlich [mm]f''(x) > 0[/mm], das Analogon im Mehrdimensionalen zur zweiten Ableitung ist dann die Hessematrix, also muss für Maxima gelten:
[mm]D^2f(x) > 0[/mm], wobei das ">" hier als ![[]](/images/popup.gif) positiv definit zu verstehen ist, was man der Einfachheit halber genauso schreibt.
> In meinem Kopf herrscht jetzt totales Chaos. :(
Ich hoffe, ich konnte es ein bisschen ordnen
MfG,
Gono
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Ja, einigermaßen.
Vielleicht ist es an Beispielen besser:
die Funktion sei
[mm] f(x,y)=x^2+y^2-2ln(xy)
[/mm]
Also ich bin sicher, dass
der Graqdient = 0 ist in [mm] p_1(-1/-1) [/mm] und [mm] p_2(1/1)
[/mm]
die gemischten 2. Ableitungen beide gleich 0 sind
und die Punkte in die zweite Ableitung von x und y eingesetzt ergeben, dass es sich für beide Punkte um einen Tiefpunkt handeln muss, da immer >0 herauskommt.
Aber: Wie sehen nun meine Funktionswerte aus? Was setze ich in f(x,y) ein?
Danke :)
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Hallo,
[mm] \\p_{1} [/mm] ist meines Erachtens nach nicht richtig. Hast du mal [mm] \\p_{1} [/mm] eingesetz?
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Ja, habe ich.
Man kriegt x=1 oder x=-1 aus der ersten Gleichung (nach x abgeleitet: [mm] \bruch{x^2-1}{x} [/mm] )
aus der zweiten Gleichung y=1 und y=-1 (nach y abgeleitet: [mm] \bruch{y^2-1}{y} [/mm] )
Aber (-1/-1) und (1/1) liegen nicht in dem Definitionsbereich.
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> Ja, habe ich.
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> Man kriegt x=1 oder x=-1 aus der ersten Gleichung (nach x
> abgeleitet: [mm]\bruch{x^2-1}{x}[/mm] )
> aus der zweiten Gleichung y=1 und y=-1 (nach y abgeleitet:
> [mm]\bruch{y^2-1}{y}[/mm] )
>
> Aber (-1/-1) und (1/1) liegen nicht in dem
> Definitionsbereich.
Hallo,
schreib doch bitte die Dinge nachvollziehbar auf.
Es macht einfach keinen Spaß, wenn man sich erst durch den halben Thread klicken muß, um die Funktion zu erfahren.
So: f(x,y)= ....
[mm] f_x(x,y)=...
[/mm]
[mm] f_y(x,y)=...
[/mm]
Wieso liegen die beiden Punkte (-1 |-1) und (1|1) nicht im Definitionsbereich?
Auf welchem Bereich soll die Funktion denn betrachtet werden?
Es gibt ja auch noch weitere Punkte, an denen der Gradient =0 ist.
Aus
[mm] f_x(x,y)=.0 [/mm] folgt x=1 oder x=-1, aus
[mm] f_y(x,y)=0 [/mm] folgt y=-1 oder y=-1,
also erhält masn zunächst auch noch (1|-1) und (-1|1) welche aber tatsächlich nicht im Definitionsbereich liegen.
Gruß v. Angela
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Genau so habe ich es auch.
Was fehlt denn jetzt noch?
Ich habe ja nun die 4 zweiten Ableitungen und wenn ich die 2 Punkte hier einsetze habe ich das Ergebnis, dass in den Punkten Tiefpunkte liegen müssen, da:
(-1,-1) in die 2. Ableitung nach x: [mm] 2+\bruch{2}{x^2}
[/mm]
=4>0
das gleiche in die 2. Ableitung nach y: [mm] 2+\bruch{2}{y^2}
[/mm]
=4>0
Gleiches gilt für den Punkt (1,1), da habe ich dementsprechend auch immer >0
Also müssen in den Punkten Tiefpunkte vorliegen.
Aber was sind nun die genauen Funktionswerte? Sind das eben gerade diese 2 Punkte?
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> Genau so habe ich es auch.
>
> Was fehlt denn jetzt noch?
>
> Ich habe ja nun die 4 zweiten Ableitungen und wenn ich die
> 2 Punkte hier einsetze habe ich das Ergebnis, dass in den
> Punkten Tiefpunkte liegen müssen, da:
>
> (-1,-1) in die 2. Ableitung nach x: [mm]2+\bruch{2}{x^2}[/mm]
> =4>0
> das gleiche in die 2. Ableitung nach y: [mm]2+\bruch{2}{y^2}[/mm]
> =4>0
>
> Gleiches gilt für den Punkt (1,1), da habe ich
> dementsprechend auch immer >0
>
> Also müssen in den Punkten Tiefpunkte vorliegen.
>
> Aber was sind nun die genauen Funktionswerte? Sind das eben
> gerade diese 2 Punkte?
Hallo,
wenn Du nun wissen willst, welcher Funktionswert zu (-1|-1) gehört, so berechnest Du f(-1, -1)= [mm] (-1)^2+(-1)^2+2ln((-1)*(-1))=2,
[/mm]
der andere ensprechend.
Gruß v. Angela
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Sorry, wenn das richtig doof klingt, aber ich steh auf dem Schlacuch.
Dann habe ich für 1,1 den Funktionswert 2 und das gleiche Ergebnis für -1,-1.
WIe lautet jetzt das Ergebnis? Ich habe doch bei 1,1 schon einen x und y-Wert.
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> Sorry, wenn das richtig doof klingt, aber ich steh auf dem
> Schlacuch.
>
> Dann habe ich für 1,1 den Funktionswert 2 und das gleiche
> Ergebnis für -1,-1.
Hallo,
ja, genau.
>
> WIe lautet jetzt das Ergebnis? Ich habe doch bei 1,1 schon
> einen x und y-Wert.
Als Du Funktionen über [mm] \IR [/mm] betrachtet hast, hast Du jeder reellen Zahl einen Funktionswert zugewiesen.
Jetzt betrachtest Du Funktionen über dem [mm] \IR^2. [/mm] Hier bekommt jeder Punkt der xy-Ebene eine Zahle, nämlich ihren Funktionswert zugewiesen.
Du kannst es Dir so vorstellen, daß über der Ebenen ein Funktionsgebirge aufgebaut wird. Jedem Punkt der Ebene wird die Höhe des Gebirges an dieser Stelle zugewiesen.
Nenn es meinetwegen z-Wert.
Die Koordinaten der Tiefpunkte sind (1|1|2) und (-1|-1|-2).
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 So 25.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Also einfach die Zahl anhängen.
Vielen Dank! :)
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