Bestimmung von GRF < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen!
Leider schreiben wir morgen eine Mathearbeit (wir müssen Stoff, den wir in der 11. nicht geschafft haben, machen) und ich dachte ich kann alles. Nun scheitere ich leider doch an einem Punkt und zwar der Bestimmung von GRF :-(
Unser Lehrer hat uns nur ein total einfaches Beispiel gezeigt (Funktion dritten Gerades, durch drei Punkte), aber er wird Morgen schwierigeres dranbringen. Wir haben kein Mathebuch aus der 11. mehr bekommen, also habe ich nur das Internet zur Hilfe. Ich weiß also, wie das funktioniert, wenn Punkte angegeben sind und dann Additionsverfahren etc. aber mir fehlen folgende Sachen:
- Wendetangente mit evtl. angegebener Steigung
- die Funktion "berührt" die x-Achse oder y-Achse im Ursprung
- Wendestelle
- relatives Minimum/Maximum mit nur einer Zahl irgendwas angegeben
- Extrempunkt
- 2 halbe Sätze:
a)... deren Tangente in Punkt P(...) parallel zur Geraden y=... ist
b)... im Wendepunkt W(...) Tangenten parallel zur x-Achse hat
BITTE helft mir ausführlich, ich habe im Internet wie verrückt gesucht... :-(
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.onlinemathe.de/forum/Bestimmung-ganzrationaler-Funktionen-Hilfe-Ich-brauche-dringend-ausfuehrliche-Infos-zu-meinen-aufgefuehrten-Stichpunkten]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 So 11.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Keine Angst, so schwer ist der Rest auch nicht, wenn du das mit den Punkten verstanden hast :)
"Der Graf hat einen Wendepunkt bei x=4" = Die 2. Ableitung des Grafen für x=4 ist 0.
"Der Graf berührt die x-Achse bei x=0" = Die 1. Ableitung des Grafen an der Stelle x=0 ist 0 (wenn die x-Achse berührt wird, hat man immer einen Hoch- oder Tiefpunkt! Wie bei y=x² z.B.).
"Der Graf hat einen Hochpunkt an der Stelle x=7" = Die 1. Ableitung des Grafen an der stelel x=7 ist 0 (es ist sogar egal, ob da Hochpunkt oder Tiefpunkt angegeben ist! Auch wenn da Tiefpunkt oder nur Extrempunkt stehen würde, würdest du so verfahren).
Und das mit den Sätzen dort weiß ich jetzt auch nicht genau.
Aber nun mal zurück zum 1. Teil:
Es können noch formulierungen kommen wie "Der Graf ist achsensymmetrisch zur y-Achse" oder "Der Graf ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung".
"achsensymmetrisch zur y-Achse" = Die Funktion enthält nur gerade Exponenten bei den xen.
"punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung" = ... nur ungerade Exponenten...
Beispiel:
Bestimme eine ganzrationale Funktion 5. Grades, die punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, einen Wendepunkt in W(1|1) hat und einen Extrempunkt an der Stelle 2.
Fahrplan dafür:
"ganzrationale Funktion 5. Grades" => [mm] f(x)=ax^5+bx^4+cx³+dx²+ex+f
[/mm]
"punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung" => [mm] f(x)=ax^5+cx³+ex
[/mm]
(diese jetzt auch am besten 2mal ableiten, um die Info mit dem Wendepunkt und dem Extrempunkt einzubauen!)
[mm] f'(x)=5ax^4+3cx²+e
[/mm]
f''(x)=20ax³+6cx
"einen Wendepunkt in W(1|1)" => f(1)=1=a+c+e
und f''(1)=0=20a+6c
"Extrempunkt an der Stelle 2" => f'(2)=0=80a+12c+e
Also kannst du nun das Gleichungssystem lösen!
I 1=a+c+e
II 0=20a+6c
III0=80a+12c+e
Rauskommen sollte:
[mm] a=-\bruch{3}{127}
[/mm]
[mm] c=\bruch{10}{127}
[/mm]
[mm] e=\bruch{120}{127}
[/mm]
Das kannst du wieder in [mm] f(x)=ax^5+cx³+ex [/mm] und bist fertig!
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OK, dankeschön.
Sind die oberen Sätze mit Anführungszeichen Beispiele oder? Tut mir Leid, bin grad total am Verzweifeln... :-(
Die Sätze lauten so:
Suchen die eine Funktion so und sovielten Grades, die
a) im Wendepunkt W(..) Tangenten parallel zur x-Achse hat
b) deren Tangente in P(..) parallel zur Geraden y= 6x ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 So 11.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Ja, waren nur Beispiele!
Suchen die eine Funktion so und sovielten Grades, die
a) im Wendepunkt W(..) Tangenten parallel zur x-Achse hat
=>Ne Tangente parallel zur x-Achse heißt nur, dass die Funktion dort einen Extrempunkt hat
b) deren Tangente in P(..) parallel zur Geraden y= 6x ist
=>Wenn die Tangente dort parallel zu y=6x ist, hat sie die Steigung 6. Also ist die 1. Ableitung in dem Punkt gleich 6.
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Gut, das habe ich verstanden. Tut mir Leid, ich stelle mich wohl dumm an.
Dann noch etwas:
-Was ist wenn statt der x-Achse die y-Achse berührt wird? (s. oben)
- Wie geht das mit einer WendeTANGENTE und deren Steigung angegeben?
- Wendestelle=Wendepunkt oder?
- Extrempunkt= relatives Minimum/Maximum oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 So 11.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Dass der Graf die y-Achse berührt, wird nie vorkommen!
Die Funktion y=x² berührt ja die x-Achse. Wenn du die Parabel um 90° drehst, würde sie die y-Achse berührn. Aber dann wäre sie keine Funktion mehr, da einem x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet werden würde.
Zur Wendetangente:
"Der Graf hat einen Wendepunkt an der Stelle 2 und die Steigung der Wendetangente beträgt -7" => f''(2)=0 und f'(2)=-7
Wendestelle=x-Wert des Wendepunktes! Eine Stelle beschreibt immer nur den x-Wert.
Und ja, Extrempunkte sind Hoch- & Tiefpunkte.
Und nein, ist schon gut ;) dafür ist das Forum ja da!
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DANKE!!
Dann hätte ich noch eine Frage/Bitte.
Das einzige was ich jetzt noch nicht verstehe ist das mit der Wendetangente und der Steigung.
Könntest du das bitte nochmal richtig für Dumme erklären mit nem Beispiel ganz ausführlich??
Danke schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 So 11.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Klar ;)
Aufgabe: Bestimme eine Funktion 3. Grades, die in W(0|0) die Wendetangente mit der Steigung m=10 hat und durch P(5|5) geht.
Ansatz:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
"W(0|0)" => f(0)=0=d, f''(0)=0=2b, f'(0)=10=c
Dieses Beispiel ist sehr einfach ;) Bis jetzt weißt du: b=0, c=10, d=0.
Deshalb könntest du einfachheitshalber die feststehen Wetre schon einsetzen!
f(x)=ax³+10x
Dann noch f(5)=5=125a+50
[mm] a=-\bruch{9}{25}
[/mm]
Damit hast ja dann wieder alle Werte.
Am besten noch eine andere Aufgabe:
Bestimme eine Funktion 3. Grades, die in W(2|1) die Wendetangente mit der Steigung m=1 und einen Extrempunkt an der Stelle 9 hat.
Versuch das mal!
Ergebnisse:
[mm] a=-\bruch{1}{147}
[/mm]
[mm] b=\bruch{2}{49}
[/mm]
[mm] c=\bruch{45}{49}
[/mm]
[mm] d=-\bruch{139}{147}
[/mm]
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Dankeschön!!
Werde mich nochmal die halbe NAcht dransetzen ;)
VIELEN DANK!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 So 11.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Na hoffentlich bist du dann ausgeschlafen :P Vielleciht solltest du dir auch lieber eine andere Aufgabe suchen, wo ganze Zahlen rauskommen. Vielleicht steht eine in deinem Buch oder jemand anders hat grad eine parat.
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