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| Aufgabe | Gegeben sei eine Funktion 3. Ordnung f(x), die den Graphen der Funktion
g(x)=0,25x²
im Koordinatenursprung berührt und den Hochpunkt H(5/6,25) hat.
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion f(x)!
b) f(x) und g(x) schließen eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche!
c) Für jedes u (mit u>5) schließen die Graphen der Funktionen f(x) und g(x) mit der Senkrechten u=x eine Fläche vollständig ein! Berechnen Sie u für den Fall, dass der Flächeninhalt genau so groß wird wie der Flächeninhalt, den f(x) und g(x) einschließen (siehe b))! |
Also, ich habe a) und b) schon gelöst. Für die Funktion f(x) erhalte ich die Funktionsgleichung
f(x) = -0,1x³+0,75x²
Für den Flächeninhalt zwischen f(x) und g(x) bekommen ich den Wert
A = [mm] \bruch{125}{24}
[/mm]
heraus.
Wenn ich nun bei c) für den Flächeninhalt diesen Wert einsetze und integriere erhalte ich folgendes:
A = [mm] \integral_{a}^{b}{(f(x)-g(x)) dx}
[/mm]
[mm] \bruch{125}{24} [/mm] = [mm] \integral_{5}^{u}{(-0,1x³+0,75x²-0,25x²) dx}
[/mm]
[mm] \bruch{125}{24} [/mm] = [mm] \integral_{5}^{u}{(-0,1x³+0,5x²) dx}
[/mm]
[mm] \bruch{125}{24} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{40}u^{4}+\bruch{1}{6}u³-(-\bruch{1}{40}*625+\bruch{1}{6}*125)
[/mm]
[mm] \bruch{125}{24} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{40}u^{4}+\bruch{1}{6}u³-\bruch{125}{24}
[/mm]
0 = [mm] -\bruch{1}{40}u^{4}+\bruch{1}{6}u³-\bruch{125}{12}
[/mm]
0 = [mm] \bruch{1}{40}u^{4}-\bruch{1}{6}u³+\bruch{125}{12}
[/mm]
0 = [mm] u^{4}-\bruch{40}{6}u³+\bruch{1250}{3}
[/mm]
Nun bekomme ich für die letzte Gleichung aber keine Lösung heraus, ich denke aber schon, dass es eine gibt. Kann vielleicht jemand einen Fehler entdecken?? Ich bin mir ziemlich sicher, dass die ermittelte Funktionsgleichung von f(x) und der errechnete Flächeninhalt zwischen f(x) und g(x) auch korrekt ist.
Ich wäre euch für eure Hilfe sehr dankbar!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Stefan,
ich habs mal malen lassen und es sieht so aus (für u hab ich mal 6 genommen)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für mich sieht es per Augenmass so aus, als ob die Fläche, die f, g und u>5 einschliessen immer grösser ist als die Fläche A (und nie genauso gross) , die f und g einschliessen. Deshalb bin ich mir nicht sicher, was ich von der Aufgabestellung halten soll. Oder ich hab sie falsch verstanden. Trotzdem hilft dir das Bild vielleicht weiter, den richtigen Ansatz zu finden, deiner ist nämlich (so glaube ich ) in jedem Fall nicht richtig.
LG walde
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Mannomann, habe ich gegrübelt, bis ich hier endlich den Fehler gefunden habe ...
Du hast einen Vorzeichenfehler drin bzw. die Funktionen falschrum angesetzt. Wie Du Walde's Skizze entnehmen kannst, verläuft für $x \ > \ 5$ der Graph von $g(x)_$ oberhalb der anderen Kurve.
Es muss daher heißen, um auch positive Intergalwerte zu erhalten:
$A \ = \ [mm] \bruch{125}{24} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{5}^{u}{g(x)-f(x) \ dx}$
[/mm]
Bei Deinem Ansatz entsteht auf der rechten Seite stets ein negativer Wert (orientierte Fläche).
Hier habe ich dann als Lösung erhalten: $u \ = \ [mm] \bruch{20}{3}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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