Bestimmung von Kern und Basis < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Sa 28.02.2009 | | Autor: | can19 |
hallo,
ich habe eine frage, und zwar wenn ich eine lineare abbildung gegeben hab, und ich den kern bestimmen muss, woher weiß ich dann wenn ich die basis vom kern bestimmen will, wie viele basen ich bestimmen muss?
wäre für eine antwort dankbar!!
lg alice
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Merle23 |
Das folgt meist aus der Rechnung. Je nachdem wieviele Basisvektoren da eben als Ergebnis rauskommen.
Wenn du die Abbildung als Matrix gegeben hast, dann musst du ja ein LGS lösen, und beim Lösen stellt man dann eben schon fest wieviele Vektoren es werden, sonst kann man das LGS ja nicht sauber lösen.
Schreibe doch mal dein konkretes Problem hin, dann kann man genauer antworten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Sa 28.02.2009 | | Autor: | can19 |
zum beispiel ich habe eine abbildung von [mm] \IR^4 [/mm] --> [mm] \IR^3
[/mm]
mit der matrix
[mm] \pmat{ 2x_{1}-x_{2}+3x_{3}+x_{4} \\ 3x_{1}+5x_{2}-x_{3}-7x_{4} \\ -7x_{1}-16x_{3}+6x_{3}+22x_{4} }
[/mm]
wie bestimme ich jetzt den kern?
lg
alice
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Hallo can19,
> zum beispiel ich habe eine abbildung von [mm]\IR^4[/mm] --> [mm]\IR^3[/mm]
> mit der matrix
> [mm]\pmat{ 2x_{1}-x_{2}+3x_{3}+x_{4} \\ 3x_{1}+5x_{2}-x_{3}-7x_{4} \\ -7x_{1}-16x_{3}+6x_{3}+22x_{4} }[/mm]
>
> wie bestimme ich jetzt den kern?
Den Kern bestimmtst Du durch lösen des LGS
[mm]2x_{1}-x_{2}+3x_{3}+x_{4}=0[/mm]
[mm]3x_{1}+5x_{2}-x_{3}-7x_{4}=0[/mm]
[mm]-7x_{1}-16x_{3}+6x_{3}+22x_{4}=0[/mm]
mit Hilfe des Gauß-Algorithmus.
>
> lg
> alice
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Sa 28.02.2009 | | Autor: | can19 |
ich komme leider nicht weiter...ich bekomme immer 0=0
und wenn ich die unbekannten im verhältnis setzten will bekomme ich
[mm] x_{1}= \bruch{2}{13}x_{4} [/mm] - [mm] \bruch{14}{13}x_{3}
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{20}{14}x_{4} [/mm] - [mm] \bruch{11}{14}x_{1}
[/mm]
[mm] x_{3}=\bruch{13}{11}x_{4} [/mm] - [mm] \bruch{17}{11}x_{4}
[/mm]
ich mach doch bestimmt irgend etwas falsch....
bitte helft mir!!
lg alice
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> ich komme leider nicht weiter...ich bekomme immer 0=0
> und wenn ich die unbekannten im verhältnis setzten will
> bekomme ich
> [mm]x_{1}= \bruch{2}{13}x_{4}[/mm] - [mm]\bruch{14}{13}x_{3}[/mm]
>
> [mm]x_{2}=\bruch{20}{14}x_{4}[/mm] - [mm]\bruch{11}{14}x_{1}[/mm]
>
> [mm]x_{3}=\bruch{13}{11}x_{4}[/mm] - [mm]\bruch{17}{11}x_{4}[/mm]
>
> ich mach doch bestimmt irgend etwas falsch....
Hallo,
nachgerechnet habe ich nichts.
Aber Du hast doch nur drei Gleichungen mit 4 variablen, da kannst Du nicht erwarten, eine eindeutige Lösung zu bekommen.
> bitte helft mir!!
Da Du im Hochschulforum postest, sollte Dir der Gaußalgorithmus bekannt sein. Mit seine Hilfe kannst Du diesen Typ von Aufgabe schnell, systematisch und übersichtlich lösen.
Stelle zunächst die Koeffizientenmatrix für das Gleichungssystem auf.
Bringe diese dann durch Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform.
Dann kann Dir jemand zeigen, wie man aus der ZSF den Kern gewinnt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Sa 28.02.2009 | | Autor: | can19 |
danke angela!
jetzt hab ich meine matrix auf zeilenstufenform gebracht...
[mm] \pmat{ 1 & 6 & -4 & -8 \\ 0 & 13 & -11 & -17 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
hoffe dass ich das richtig gemacht habe....wie kann ich jetzt daraus den kern erschließen?
danke für jede hilfe!!
lg alica
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> danke angela!
>
> jetzt hab ich meine matrix auf zeilenstufenform
> gebracht...
> [mm]\pmat{ 1 & 6 & -4 & -8 \\ 0 & 13 & -11 & -17 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> hoffe dass ich das richtig gemacht habe....wie kann ich
> jetzt daraus den kern erschließen?
Hallo,
Deine ZSF habe ich nicht nachgerechnet.
Ich gehe davon aus, daß sie richtig ist, und ich zeige Dir wie Du den Kern bekommst:
Führende Elemente vo nNichtnullzeilen hast Du in der 1. und 2. Spalte.
Die variablen der dritten und vierten Spalte sind frei wählbar.
Also ist
[mm] x_4=t
[/mm]
[mm] x_3=s [/mm] mit [mm] s,t\in \IR [/mm] beliebig.
Es ergibt sich hieraus:
[mm] x_2= \bruch{1}{13} [/mm] (11s + [mm] 17t)=\bruch{11}{13}s+\bruch{17}{13}t
[/mm]
[mm] x_1= -6*\bruch{1}{13} [/mm] (11s + 17t)+4s [mm] +8t=-6*(\bruch{11}{13}+4)s [/mm] + [mm] (-6)*(\bruch{17}{13}+8)t.
[/mm]
Also haben die Vektoren des Kerns die Gestalt
[mm] \vektor{-6*(\bruch{11}{13}+4)s + (-6)*(\bruch{17}{13}+8)t\\\bruch{11}{13}s+\bruch{17}{13}t\\s\\t}= s*\vektor{-6*(\bruch{11}{13}+4)\\\bruch{11}{13}\\1\\0} +t*\vektor{(-6)*(\bruch{17}{13}+8)\\\ \bruch{17}{13}\\0\\1}.
[/mm]
Die beiden Vektoren sind eine Basis des Kerns.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Sa 28.02.2009 | | Autor: | can19 |
recht vielen dank für die mühe!!!
dh. wenn ich das richtig verstanden hab,
wenn ich nach der zeilenstufenumformung...zeilen hab ungleich null...dann forme ich diese nach einer variablen um , zum beispiel wenn ich 3 nichtnullzeilen hab, dann forme ich nach [mm] x_{1} [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] , [mm] x_{3} [/mm] um, ersetzte die restlichen unbekannten durch buchstaben, und setzte diese dann wieder in meine gleichung...dann hab ich einen lösungsvektor für den kern.
vlg
alicia
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> recht vielen dank für die mühe!!!
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> dh. wenn ich das richtig verstanden hab,
> wenn ich nach der zeilenstufenumformung...zeilen hab
> ungleich null...dann forme ich diese nach einer variablen
> um , zum beispiel wenn ich 3 nichtnullzeilen hab, dann
> forme ich nach [mm]x_{1}[/mm] , [mm]x_{2}[/mm] , [mm]x_{3}[/mm] um, ersetzte die
> restlichen unbekannten durch buchstaben, und setzte diese
> dann wieder in meine gleichung...dann hab ich einen
> lösungsvektor für den kern.
Hallo,
ja, so geht das. Überall in den Spalten, in denen kein führendes Zeilenelement ist, spendierst Du eine freie Variable.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 28.02.2009 | | Autor: | can19 |
vielen vielen lieben dank!!!! :)
lg alicia
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