Bestimmung von Kern und Bild < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Di 31.01.2006 | | Autor: | alx3400 |
| Aufgabe | Sei [mm] A\in\IR^{4,4} [/mm] gegeben durch [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
[/mm]
Bestimmen sie Kern(A) und Bild(A) und geben sie Basen an. |
Hallo,
mir geht es nicht so sehr um die Lösung der Aufgabe, sondern viel mehr darum, dass mir jemand an diesem Beispiel erklären kann, wie ich allgemein Kern und Bild einer Matrix (Abbildung) bestimmen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Im Voraus schonmal vielen Dank für die Bemühingen.
alx
|
|
| |
|
Hallo Alex,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Der Kern einer linearen Abbildung besteht aus allen Vektoren, deren Bild der Nullvektor ist. Du musst also das Gleichungssystem [mm] $A\cdot\vec{x}=\vec{0}$ [/mm] lösen.
Gleich eine Frage zurück:
Weißt du, was die Zeilen-Stufen-Form einer Matrix ist? Wenn ja, dann kannst du den Gauß-Algorithmus verwenden, um sehr einfach die Basen für den Kern und das Bild einer linearen Abbildung zu bestimmen. Aufzuschreiben wie das funktioniert, würde aber etwas länger dauern.
Hugo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Di 31.01.2006 | | Autor: | alx3400 |
Danke erstmal.
Das mit dem Kern ist jetzt klar. Allerdings weiss ich noch nicht so recht, wie ich das Bild bestimmen kann.
Meinst du mit Zeilen-Stufen-Form so etwas wie eine obere Dreiecksmatrix, wie man sie zur Rangbestimmung verwendet? Dann kenn ich das.
|
|
|
| |
|
Hallo Alex,
genau diese obere Dreiecksform meine ich.
Ich arbeite gerade an einer effektiven Lösungsmethode für Aufgaben wie deine. Ich hoffe, du hast noch ein paar Stunden Geduld, weil der Text noch nicht fertig ist, und poste einen Link, sobald ich eine brauchbare Version habe.
Hugo
|
|
|
| |
|
Hallo Alex,
der für dich relevante Teil ist schon fertig, auch wenn der Text an sich noch unvollständig ist. Er ist unter ![[]](/images/popup.gif) http://www.mi.uni-erlangen.de/~wernerth/hugo/t-methode/t-methode.pdf zu finden. Du sollstest dir Kapitel 3 ansehen, dort sind zwei Beispiele durchgerechnet. Der Grundgedanke des Verfahrens ist das Verwenden der transponierten Matrix im Gauß-Algorithmus.
Es wäre schön, wenn du mir eine Rückmeldung geben könntest, wie du dieses Berechnungsverfahren findest.
Hugo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Di 31.01.2006 | | Autor: | alx3400 |
Meiner Meinung nach ein gutes Verfahren und vor allem leicht anzuwenden.
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo Alex,
dankeschön auch an dich.
Ich arbeite noch an der Anwendung des Verfahrens bei der Bestimmung von Eigenvektoren und bei Koordinatenstransformationen. So wie ich deine Frage einschätze, bist du momentan im ersten Semester, d.h. diese beiden Probleme stehen dir in Linearer Algebra noch bevor. 
Hugo
|
|
|
|
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
und verständlich (was mich anbelangt und das will was heißen ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
).
