Bestimmung von Rez und Imz < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen
[mm] \bruch{\overline{z} - 1}{z - 1} [/mm]
z [mm] \in \IC\backslash\{1\} [/mm] |
Also das hab ich bis jetzt:
[mm] \bruch{(x - yi)(x - yi) - 1}{(x + yi)(x - yi) - 1} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{x^{2} - y^{2} - 2xyi -1}{x^{2} + y^{2} - 1}
[/mm]
Ist das im Ansatz richtig? Wie mach ich am besten weiter? Ich muss doch den Nenner eliminieren um einen konkreten Real- und Imaginärteil zu bestimmen oder? bei der vorherigen Aufgaben kam ich immer durch kürzen ans Ziel.
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 So 07.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mammutbaum!
> Also das hab ich bis jetzt:
> [mm]\bruch{(x - yi)(x - yi) - 1}{(x + yi)(x - yi) - 1}[/mm]
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Wie kommst Du darauf?
Es gilt:
[mm]\bruch{\overline{z} - 1}{z - 1} \ = \ \bruch{x-y*i - 1}{x+y*i - 1} \ = \ \bruch{(x-1)-y*i}{(x-1)+y*i} \ = \ ...[/mm]
Nun mit dem Konjugierten des Nenners erweitern.
Gruß
Loddar
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Oke, das ergibt Sinn.
Also sieht das Ganze dann wie folgt aus?
[mm] \bruch{((x-1) - yi)((x-1) - yi)}{((x-1) + yi)((x-1) - yi)} [/mm] = [mm] \bruch{(x-1)^{2} - y - 2i((x-1) - y)}{(x+1)^{2} - y^{2}}
[/mm]
Und nun?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 So 07.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Nenner ist falsch. denk an [mm] a*\overline{a}=|a|^2
[/mm]
deshalb mult. man ja mit dem konj. komplexen.
Dann einfach in Real und Imaginärteil trennen und du bist fertig
Dabei kannst du en Nenner als [mm] |z-1|^2 [/mm] schreiben.
Gruss leduart
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Ups, da hab ich wohl was mit den Vorzeichen durcheinander gebracht.
Sieht die Lösung dann wie folgt aus:
Rez:
[mm] \bruch{(x - 1)^{2} - y}{|z - 1|^{2}}
[/mm]
Imz:
- [mm] \bruch{2i (x - 1) - y}{|z - 1|^{2}}
[/mm]
Oder wie? Aber enthält das z im Nenner nicht ein "i"? Ist das dann ein gültiger Realbereich?
PS: kann ich den Imz dann auch so schreiben:
- [mm] \bruch{2i (|\overline{z} - 1|)}{|z - 1|^{2}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 So 07.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab vorhin nicht genau hingesehen, dein Zähler ist auch falsch. und damit dein Ergebnis. rechne doch einfach das Binom [mm] ((x-1)+iy))^2
[/mm]
Gruss leduart
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Du meinst [mm] ((x-1)-iy))^2 [/mm] oder?
Ja, da hab ich wohl wieder alles komplizierter gestalten wollen. Jetzt der nächste Versuch.
[mm] \bruch{(x-1)^{2} - 2(x-1)yi - y^{2}}{(x-1)^{2} - y^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{|\overline{z} - 1|^{2} - i (2(x-1)y)}{|z - 1|^{2}}
[/mm]
Also ist der Rez:
[mm] \bruch{|\overline{z} - 1|^{2}}{|z - 1|^{2}}
[/mm]
und der Imz:
- [mm] \bruch{i (2(x-1)y)}{|z - 1|^{2}}
[/mm]
Danke schonmal für die vielen Tips
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 So 07.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Du meinst [mm]((x-1)-iy))^2[/mm] oder?
Ja, ich hatte mich vertippt.
> Ja, da hab ich wohl wieder alles komplizierter gestalten
> wollen. Jetzt der nächste Versuch.
>
> [mm]\bruch{(x-1)^{2} - 2(x-1)yi - y^{2}}{(x-1)^{2} - y^{2}}[/mm] =
richtig, aber [mm] |\overline{z}-1|=ist [/mm] nicht [mm] (x-1)^2-y^2
[/mm]
sondern dasselbe wie |z-1| also ist die nexte Vereinfachung falsch
> [mm]\bruch{|\overline{z} - 1|^{2} - i (2(x-1)y)}{|z - 1|^{2}}[/mm]
>
> Also ist der Rez:
>
> [mm]\bruch{|\overline{z} - 1|^{2}}{|z - 1|^{2}}[/mm]
falsch
> und der Imz:
>
> - [mm]\bruch{i (2(x-1)y)}{|z - 1|^{2}}[/mm]
richtig
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 So 07.11.2010 | | Autor: | Mammutbaum |
Ja, das ergibt auch alles Sinn. Dankesehr für die Hilfe. Das sollte für heute mit Mathegenügen
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