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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Do 11.10.2012 | | Autor: | Knut123 |
| Aufgabe | 1 Wir betrachten auf der Menge Q der rationalen Zahlen zwei neue Verknüpfungen: a+b:=a+b+1 und a*b:=ab+a+b
a) Zeigen Sie, dass (Q,+,*) ein Körper ist. Welche Elemente aus Q spielen die Rolle der Null 0 und der Eins 1 für die neuen Verknüpfungen? Wie findet man das Inverse eines Elementes a ungleich 0? |
Hallo ich bin grad am lösen meines Übungsblattes und komme nicht so recht weiter.
Im ersten Schritt hab ich gezeigt, dass Q,+,* ein Körper ist mit Hilfe der Körperaxiome. Allerdings weiß ich nicht so recht weiter, bei den beiden weiteren Teilaufgaben. Für die erste Teilaufgabe hab ich leider noch nicht mal eine Idee.
Bei der zweiten Teilaufgabe ist mir klar, dass das Inverse Element zu a [mm] \not= [/mm] 0, a=0 ist. Leider weiß ich nicht wirklich wie ich dies finden soll.
Ich würde mich über jeden Tipp freuen und bdanke mich im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> 1 Wir betrachten auf der Menge Q der rationalen Zahlen zwei
> neue Verknüpfungen: [mm] a\oplus [/mm] b:=a+b+1 und [mm] a\odot [/mm] b:=ab+a+b
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> a) Zeigen Sie, dass [mm] (Q,\oplus \odot [/mm] ) ein Körper ist. Welche
> Elemente aus Q spielen die Rolle der Null 0 und der Eins 1
> für die neuen Verknüpfungen? Wie findet man das Inverse
> eines Elementes a ungleich 0?
> Hallo ich bin grad am lösen meines Übungsblattes und
> komme nicht so recht weiter.
>
> Im ersten Schritt hab ich gezeigt, dass Q,+,* ein Körper
> ist mit Hilfe der Körperaxiome. Allerdings weiß ich nicht
> so recht weiter, bei den beiden weiteren Teilaufgaben. Für
> die erste Teilaufgabe hab ich leider noch nicht mal eine
> Idee.
>
> Bei der zweiten Teilaufgabe ist mir klar, dass das Inverse
> Element zu a [mm]\not=[/mm] 0, a=0 ist. Leider weiß ich nicht
> wirklich wie ich dies finden soll.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich frage mich, wie Du die Körpereigenschaft gezeigt hast, ohne die Frage nach
der Null, also dem neutralen Element bzgl [mm] \oplus, [/mm]
der Eins, also dem neutralen bzgl [mm] \odot,
[/mm]
und den Inversen beantwortet zu haben.
Zur Null n:
gesucht ist das Element n, für welches für alle [mm] a\in \IQ [/mm] gilt:
[mm] a\oplus n=n\oplus [/mm] a=a
Entsprechend zur Eins e: für alle [mm] a\not=n [/mm] gilt
[mm] a\oplus e=e\oplus [/mm] a=a.
Danach können wir über die Inversen nachdenken.
LG Angela
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Die Rolle der Null spielt -1 : (-1)+ a=a+(-1) = a
Die Rolle der Eins spielt 0 : 0*a = a*0 = a·0 + a + 0
Diese folgt aus Verknupfungsdefinition : a + b = a+b +1 = a d.h. b =-1
a*e = a·e + a + e = a, folgt a·e+e= 0, (a+1)· e = 0 d.h. e=0 weil a nicht -1 (Null).
Änlich für Inverse : Verknupfung «+» : a+b =a+b+1=-1, d.h. b= -a-2
für « *» : a* b = a·b + a + b =0, d. h. b = -a / (a+ 1), a ist nicht -1 (Null)
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Hallo Knut123,
Man bekommt hier sehr selten drei Antworten auf die gleiche Frage.
Trotzdem will ich mir meine nicht verkneifen.
1. Mach Dir klar, dass das additive und das multiplikative "Einselement" nicht gleich sein müssen. Wir brauchen eine additive und eine multiplikative Gruppe, die miteinander (siehe Körperaxiome) verbunden werden. Ein "Nullelement" ist nur bezüglich der Addition interessant, das "Einselement" nur bezüglich der Multiplikation - in beiden Fälle ist hier das neutrale Element gesucht. Erst wenn das bekannt ist, kann man sich auf die Suche nach Inversen machen. Die zu lösenden Gleichungen werden hier dann ziemlich einfach.
2. Manche finden bei dieser Aufgabe die folgende Schreibweise hilfreich:
Sei $a'=a+1,\ b'=b+1.$
Dann ist laut Definition [mm] a\oplus{b}=a'+b'-1,\ a\odot{b}=a'b'-1.
[/mm]
Grüße
reverend
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