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Betrag < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Betrag: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:11 Do 15.11.2007
Autor: DieMuhKuh

Aufgabe
Bestimmen sie die Menge aller x [mm] \in \IR, [/mm] für die folgende Ungleichung gilt:

| |x+1| - 2 | [mm] \le [/mm] x

Hallo!

Mein Lösungsvorschlag wäre folgender:

|x+1| = [mm] \begin{cases} x+1, & \mbox{für } x \ge -1 \\ -x-1, & \mbox{für } x<-1 \end{cases} [/mm]

|x+1| - 2 = [mm] \begin{cases} x-1, & \mbox{für } x \ge -1 \\ -x-3, & \mbox{für } x<-1 \end{cases} [/mm]


=> | x-1 | = [mm] \begin{cases} x-1, & \mbox{für } x \ge 1 \\ 1-x, & \mbox{für } x<1 \end{cases} [/mm]

   (für die Ungleichung)

   "x-1":  x-1 [mm] \le [/mm] x <=> -1 [mm] \le [/mm] 0
   "1-x":  1-x [mm] \le [/mm] x <=> 1 [mm] \le [/mm] 2x <=> [mm] \bruch{1}{2} \le [/mm] x  


=> | -x - 3 | = [mm] \begin{cases} -x-3, & \mbox{für } x \le -3 \\ x+3, & \mbox{für } x>-3 \end{cases} [/mm]

   (für die Ungleichung)

   "-x-3": -x-3 [mm] \le [/mm] x <=> -3 [mm] \le [/mm] 2x <=> - [mm] \bruch{3}{2} \le [/mm] x
   "x+3": x+3 [mm] \le [/mm] x <=> 3 [mm] \le [/mm] 0

Nun ja, "x+3": x+3 [mm] \le [/mm] x <=> 3 [mm] \le [/mm] 0  ist ein Widerspruch und wenn dem selbst nicht so wäre, ließe sich nichts vernünftiges für die Lösungsmenge von x formen. D.h. wohl, ich habe irgendwo einen Denkfehler drin. Nur wo?

        
Bezug
Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Do 15.11.2007
Autor: leduart

Hallo

zuallererst siehst du  x>0, denn die linke Seite ist sicher immer [mm] \ge [/mm] 0
also musst du Fälle mit neg x gar nicht ansehen. deshalb ist auch immer x+1>0
und du kannst diesen Betrag gleich weglassen. Damit wird das Problem einfacher
und du hast nur noch
[mm] |x+1-2|\le [/mm] x
und [mm] x\ge0 [/mm] zu betrachten.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Betrag: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:01 Do 15.11.2007
Autor: DieMuhKuh

Hallo!

Ah, danke!

€: Alles weitere hat sich auch erledigt.

Danke nochmal.

Bezug
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