Betrag Integrierbarkeit < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] und sei |f| Riemann-integrierbar. Ist auch f Riemann-Integrierbar? |
Hallo,
in der Vorlesung hatten wir, dass wenn f R.-integrierbar ist, dann ist auch |f| R.-integrierbar und es gilt [mm] |\integral_{w}^{}{f(x) dx}| \le \integral_{w}^{}{|f(x)| dx}.
[/mm]
Ich vermute, dass die Umkehrung nicht zwangläufig gelten muss und suche ein Gegenbeispiel dafür.
Da |f| R.-integrierbar, gilt: [mm] \integral_{w}^{u}{f(x) dx}=\integral_{w}^{o}{f(x) dx}.
[/mm]
Ich finde kein Beispiel dafür,dass f nicht R.-integrierbar ist, denke aber, dass eine Wurzel in der Funktion sein dürfte, vielleicht auch der ln.
Habt ihr einen Tipp, wie ich ein Gegenbeispiel konstruieren kann?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
> Sei f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] und sei |f| Riemann-integrierbar. Ist
> auch f Riemann-Integrierbar?
Betrachte [mm] f:[a,b]\to\IR, x\mapsto\begin{cases} -1, & x\in\IQ, & 1, & x\in\IR\backslash\IQ\end{cases}.
[/mm]
Es ist |f| offenbar Riemann-integrierbar und f nicht: Die Obersumme ist stets (b-a), die Untersumme -(b-a).
LG
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