Betrag Skalarprokukt < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Sa 22.03.2014 | | Autor: | bennoman |
Hallo,
hinsichtlich des Abstandes eines Punktes von einer Ebene: Ist der Betrag des Skalarproduktes aus dem Normalvektor und dem Verbindungsvektor (vec{a}) zwischen einem beliebigen Punkt außerhalb der Ebene und einem Punkt auf der Ebene der Abstand des Punktes von der Ebene?
[mm] \vec{n}\*\vec{a}=d
[/mm]
Gruß
Benno
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
Unter der Voraussetzung, dass der Normalenvektor normiert ist, also die Länge 1 hat, trifft das zu (--> "Hesse'sche Normalenform der Ebenengleichung").
Ansonsten ist der Betrag des Skalarproduktes [mm] \vec{n}*\vec{a} [/mm] das [mm] |\vec{n}|-fache [/mm] des Abstandes des Punktes von der Ebene.
Das trifft übrigens auch für solche Punkte zu, die in der Ebene liegen.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Sa 22.03.2014 | | Autor: | bennoman |
Als Ebene ist gegeben
-1,5*x1-0,5x2+0,75x3=0 und der Punkt B(1/0/-2) liegt auf E
Punkt A(6/13/-2) liegt außerhalb von E und der Abstand von A zur Ebene E soll nun bestimmt werden.
Der Einheitsvektor des Normalvektors ist (0,25/0,08/0,12).
Der Verbindungsvektor zwischen B und A ist [mm] \vektor{5 \\ 13 \\ 0}.
[/mm]
Der Betrag des Skalarproduktes aus den beiden VEktoren ist 2,29, es muss jedoch als Lösung 10,79 herauskommen. Wo ist der Fehler?
Gruß Benno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Als Ebene ist gegeben
> -1,5*x1-0,5x2+0,75x3=0 und der Punkt B(1/0/-2) liegt auf
> E
Nein, das tut er nicht, aber wenn E : [mm] -1,5x_1-0,5x_2-0,75x_3=0 [/mm] ist, dann tut er es.
> Punkt A(6/13/-2) liegt außerhalb von E und der Abstand
> von A zur Ebene E soll nun bestimmt werden.
> Der Einheitsvektor des Normalvektors ist
> (0,25/0,08/0,12).
Das ist zwar (sehr stark gerundet) ein Vielfaches des korrigierten Normalenvektors, also ebenfalls ein Normalenvektor, aber er hat nicht die Länge 1.
> Der Verbindungsvektor zwischen B und A ist [mm]\vektor{5 \\ 13 \\ 0}.[/mm]
>
> Der Betrag des Skalarproduktes aus den beiden VEktoren ist
> 2,29, es muss jedoch als Lösung 10,79 herauskommen.
Ich habe dann als Lösung Abstand = 8 heraus.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Sa 22.03.2014 | | Autor: | bennoman |
Ich komme jetzt auf ein Ergebnis von [mm] \sqrt{24,5}.
[/mm]
Kannst du mir vielleicht mal deine Rechnung schicken?
|
|
|
| |
|
> Ich komme jetzt auf ein Ergebnis von [mm]\sqrt{24,5}.[/mm]
> Kannst du mir vielleicht mal deine Rechnung schicken?
Hallo,
ach, weißt Du, ich mag gerade nicht so viel tippen...
Zeig lieber Du Deine Rechnung:
rechne vor, wie Du den Normalenvektor normierst, sage danach Deinen Normaleneinheitsvektor (exakt, mit Brüchen),
danach zeige Deine Rechnung zur Multiplikation.
Du hast auch gar nichts zu der Anmerkung von Sax zur Ebenengleichung gesagt. Ist sie richtig korrigiert, oder muß B anders heißen?
LG Angela
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 So 23.03.2014 | | Autor: | bennoman |
Der Punkt B ist richitg, die Ebenengleichung auch (laut Lösungen). Ich bekomme folgendes für die Ebenengleichung heraus.
x1=1+3*r+s
x2=-3*r-3*s ---> s=-0,5*x1-0,5*x2+0,5
x3=-2+4*r ---> r=0,25*x3+0,5
Die Werte für r und s setze ich nun in die Gleichung für x1 ein:
x1=1+3*(0,25*x3+0,5)-0,5*x1-0,5*x2+0,5
x1=3+0,75*x3-0,5*x1-0,5*x2
-3=-1,5*x1-0,5*x2+0,75*x3
Die Gleichung ist falsch, jedoch weiß ich nicht an welcher Stelle ich einen Fehler gemacht habe. Kann mir dabei bitte jemand helfen?
Gruß
Benno
P.S.: Mit einer anderen Methode bekomme ich das richtige Ergebnis von Sax auch heraus.
|
|
|
| |
|
> Der Punkt B ist richitg, die Ebenengleichung auch (laut
> Lösungen).
Hallo,
Du schriebst:
"Als Ebene ist gegeben
-1,5*x1-0,5x2+0,75x3=0 und der Punkt B(1/0/-2) liegt auf E ",
und es ist definitiv nicht richtig, daß B in dieser Ebene liegt,
wovon man sich durch Einsetzen überzeugen kann.
> Ich bekomme folgendes für die Ebenengleichung
> heraus.
Wie war denn die Aufgabe? Es ist immer hilfreich, dies auch zu verraten.
Ich reime mir zusammen, daß Du die Parameterdarstellung von E,
E: [mm] \qquad \vec{x}=\vektor{1\\-3\\-2}+r\vektor{3\\-3\\4}+s\vektor{1\\-3\\0} [/mm] in die Koordinatendarstellung bringen solltest. Richtig?
> x1=1+3*r+s
> x2=-3*r-3*s ---> s=-0,5*x1-0,5*x2+0,5
> x3=-2+4*r ---> r=0,25*x3+0,5
> Die Werte für r und s setze ich nun in die Gleichung für
> x1 ein:
> x1=1+3*(0,25*x3+0,5)-0,5*x1-0,5*x2+0,5
> x1=3+0,75*x3-0,5*x1-0,5*x2
> -3=-1,5*x1-0,5*x2+0,75*x3
> Die Gleichung ist falsch,
Ich finde sie richtig.
Und auf dieser Ebene liegt auch der Punkt B(1/0/-2).
LG Angela
> jedoch weiß ich nicht an
> welcher Stelle ich einen Fehler gemacht habe. Kann mir
> dabei bitte jemand helfen?
> Gruß
> Benno
> P.S.: Mit einer anderen Methode bekomme ich das richtige
> Ergebnis von Sax auch heraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 So 23.03.2014 | | Autor: | bennoman |
Oh, da habe ich etwas nicht korrigiert, die Parameterdarstellung ist:
E: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -2}+r* \vektor{3 \\ -3 \\ 4}+ s*\vektor{1 \\ -3 \\ 0}.
[/mm]
Die Frage bleibt aber noch:
Wo ist da der Fehler in meiner Rechnung zur Koordinatengleichung der Ebene?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 So 23.03.2014 | | Autor: | bennoman |
Ich weiß, dass mag aufdringlich klingen, aber kann mir bitte jemand eine Antwort geben, warum ich nicht auf die richtige Ebenengleichung komme.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 So 23.03.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Ich weiß, dass mag aufdringlich klingen, aber kann mir
> bitte jemand eine Antwort geben, warum ich nicht auf die
> richtige Ebenengleichung komme.
Ich spreche jetzt mal nur für mich: ich habe keinerlei Bedürfnis, mich durch dieses Chaos durchzulesen, was du da hingelegt hast. Da steht nirgends eine komplette Aufgabe, man weiß nicht was Ausgangsdaten sind, was deine (eventuell falschen) Resultate. Ich würde in dem Moment darüber nachdenken, dir zu helfen, wenn eine komplette Aufgabe im Originalwortlaut eingetippt dasteht sowie leserlich notierte Rechnungen deinerseits.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 So 23.03.2014 | | Autor: | moody |
Hallo,
ich schließe mich diophant an, so ohne eine richtige Aufgabe wird's schwierig. Und ich möchte noch darauf hinweisen, dass wir hier in unserer Freizeit helfen, wenn es Sonntag morgen nach 1 Stunde noch keine Antwort gibt, ist das vollkommen und okay und Geduld das Stichwort 
lg moody
|
|
|
| |
|
> Oh, da habe ich etwas nicht korrigiert, die
> Parameterdarstellung ist:
> E: [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -2}+r* \vektor{3 \\ -3 \\ 4}+ s*\vektor{1 \\ -3 \\ 0}.[/mm]
>
> Die Frage bleibt aber noch:
> Wo ist da der Fehler in meiner Rechnung zur
> Koordinatengleichung der Ebene?
Hallo,
wenn das da oben die Parameterdarstellung von E ist, welche Du in Koordinatenform bringen möchtest,
dann ist Dein Fehler schlichtweg der, daß Du nicht mit der Parameterdarstellung von oben arbeitest, sondern die davon verschiedene Ebene mit der Gleichung
[mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ -3 \\ -2}+r* \vektor{3 \\ -3 \\ 4}+ s*\vektor{1 \\ -3 \\ 0}
[/mm]
bearbeitest.
Ist doch kein Wunder, daß dann Müll rauskommt, oder?
Nimm halt die richtige Gleichung...
Noch ein Tip: falls das Kreuzprodukt dran war, bekommst Du damit fix einen Normalenvektor, womit die Koordinatenform dann schon fast fertig ist.
LG Angela
|
|
|
|
