Betrag eines Vektors < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Fr 25.02.2011 | | Autor: | saberdam |
| Aufgabe | | Die Vektoren [mm] \vec{a_{1}}= \vektor{1\\i\\0}; \vec{a_{2}}= \vektor{i\\0\\i}, [/mm] erzeugen einen Unterraum V des [mm] \IC^{3}.Geben [/mm] sie eine Orthonormalbasis von V an. |
Hallo,
Ich wollte hier einen Einheitsvektor bilden und somit das ganze dann mit einem Hilfsvektor berechenen. Dann den Hilfsvektor normieren, da ich das immer so gemacht habe.
Nur sehe ich in der Lösung dass bei dem Erstellen des Einheitsvektors dieser Betrag berechnet wurde:
[mm] \parallel \vec{a_{1}} \parallel= \wurzel{2}
[/mm]
und dann
[mm] \vec{e_{1}} [/mm] = [mm] \vec{a_{1}} \bruch{1}\wurzel{2} [/mm]
usw.
Ich verstehe nicht, wie die auf [mm] \wurzel{2} [/mm] kommen? Wenn ich das rechne, bleibt immer auf jeden Fall ein i.
Kann mir das vielleicht jemand mal bitte erklären?
Ich bin für jeden Hinweis dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo saberdam und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Die Vektoren [mm]\vec{a_{1}}= \vektor{1\\
i\\
0}; \vec{a_{2}}= \vektor{i\\
0\\
i},[/mm]
> erzeugen einen Unterraum V des [mm]\IC^{3}.Geben[/mm] sie eine
> Orthonormalbasis von V an.
> Hallo,
>
> Ich wollte hier einen Einheitsvektor bilden und somit das
> ganze dann mit einem Hilfsvektor berechenen. Dann den
> Hilfsvektor normieren, da ich das immer so gemacht habe.
> Nur sehe ich in der Lösung dass bei dem Erstellen des
> Einheitsvektors dieser Betrag berechnet wurde:
>
> [mm]\parallel \vec{a_{1}} \parallel= \wurzel{2}[/mm]
Na, wie ist denn das Skalarprodukt [mm]\langle\bullet,\bullet\rangle[/mm] auf [mm]\IC^3[/mm] definiert (oder auf dem [mm]\IC^n[/mm]?
Das musst du schon benutzen zur Berechnung der Länge [mm]||a_1||=\sqrt{\langle a_1,a_1\rangle}[/mm]
>
> und dann
>
> [mm]\vec{e_{1}}[/mm] = [mm]\vec{a_{1}} \bruch{1}\wurzel{2}[/mm]
>
>
> usw.
>
> Ich verstehe nicht, wie die auf [mm]\wurzel{2}[/mm] kommen? Wenn ich
> das rechne, bleibt immer auf jeden Fall ein i.
Dann rechne das mal vor!
> Kann mir das vielleicht jemand mal bitte erklären?
>
> Ich bin für jeden Hinweis dankbar.
Siehe oben!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Sa 26.02.2011 | | Autor: | saberdam |
[mm]||a_1||=\sqrt{\langle a_1,a_1\rangle}[/mm]
[mm] ||a_1||= \sqrt{a^T a}
[/mm]
= 1+i
Hab ich da einen Denkfehler oder einen Rechenfehler?Ich komm da niemals auf [mm] \sqrt{2}.
[/mm]
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Hallo,
nochmal die Frage: Wie ist das komplexe (Standard-)Skalarprodukt definiert?
Das musst du verwenden ...
Dann kommst du auch blitzschnell auf den gewünschten Wert.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Sa 26.02.2011 | | Autor: | saberdam |
Also,
[mm] \langle [/mm] x, y [mm] \rangle [/mm] := [mm] \sum_{i=1}^n \bar x_i y_i [/mm] = [mm] \bar x_1{y_1}+\bar x_2 {y_2}+\dotsb [/mm] + [mm] \bar x_n{y_n}
[/mm]
Ok.
Bei mir ist das
||a||= [mm] \wurzel{\overline{1}*1 + \overline{i}*i}
[/mm]
Ist das soweit ok?
Wenn ich jetzt weiter rechne dann kommt bei mir:
||a||= [mm] \wurzel{-1 + 1}
[/mm]
? ich komm da irgendwie nicht weiter.
Oder ist [mm] \overline{1} [/mm] = 1?
Weil ich dachte wenn i = [mm] \wurzel{-1} [/mm] ist dann müsste
[mm] \overline{i} [/mm] = [mm] -\wurzel{-1} [/mm] sein?
oha!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Sa 26.02.2011 | | Autor: | saberdam |
Sorry für die Verwechslung von Fragen und Mitteilungen.
||a|| = [mm] \wurzel{\overline{1}\cdot{}1 + \overline{i}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{1 -i^2}
[/mm]
= [mm] \wurzel{1 -(-1)}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2}
[/mm]
So ich glaube das passt so oder?
Oh Gott, wie schlecht von mir.
Danke sehr für deine Hilfe.
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Hallo,
> Sorry für die Verwechslung von Fragen und Mitteilungen.
>
> ||a|| = [mm]\wurzel{\overline{1}\cdot{}1 + \overline{i}}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{1 -i^2}[/mm]
> = [mm]\wurzel{1 -(-1)}[/mm]
> =
> [mm]\wurzel{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> So ich glaube das passt so oder?
> Oh Gott, wie schlecht von mir.
> Danke sehr für deine Hilfe.
Gerne
LG
schachuzipus
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
