Betrag von z < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Di 08.11.2011 | | Autor: | Phil92 |
Hallo,
habe folgende Aufgabe gegeben:
z = [mm] (\bruch{1+i}{1-i})^{100}
[/mm]
Nun soll ich den Betrag von z bestimmen. Habe aber leider nur folgende Ansätze:
(1) Der Zähler ist z und der Nenner ist [mm] \overline{z}
[/mm]
(2) Laut Potenzregeln könnte man auch an den Zähler und an den Nenner jeweils den Exponetnet ^{100} schreiben. Demnach wäre der Zähler [mm] (x+i)^{100} [/mm] und der Nenner [mm] (x-i)^{100}.
[/mm]
Wie vereinfache ich das jetzt bzw. wie bekomme z überhaupt so hingeschrieben, dass ich am ende genau weiß, wie der Realteil und wie der Imaginärteil lauten? Dann könnte ich ja ganz einfach den Betrag bestimmen mit:
|z| = [mm] \wurzel{(Re(z)^{2} + (Im(z))^{2}}
[/mm]
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Moin Phil92,
> z = [mm](\bruch{1+i}{1-i})^{100}[/mm]
>
> Nun soll ich den Betrag von z bestimmen.
Zwei Tipps:
a) [mm] \bruch{1+i}{1-i}=\bruch{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{(1+i)^2}{2}.
[/mm]
b) [mm] |z^n|=|z|^n [/mm] für [mm] n\in\IN.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Di 08.11.2011 | | Autor: | Phil92 |
Danke für deine beiden Denkanstöße.
Jetzt habe ich da stehen [mm] |i|^{100} [/mm] = |z| . Sieht irgendwie komisch aus (oder habe ich mich verrechnet?)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Di 08.11.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phil!
Und was ist nun $|i|_$ ? Damit sollte dann auch [mm] $|i|^{100}$ [/mm] klar sein.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Di 08.11.2011 | | Autor: | Phil92 |
ich weiß, dass i² = -1 ist. Aber ich verstehe leider nicht, was du mir mit deiner Antwort sagen willst.
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> ich weiß, dass i² = -1 ist. Aber ich verstehe leider
> nicht, was du mir mit deiner Antwort sagen willst.
Was ist denn der Betrag einer komplexen Zahl?
für z=x+iy ist: |z|=|x+iy| [mm] =\wurzel{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Di 08.11.2011 | | Autor: | Phil92 |
Zur Info = habe mich verschrieben. es muss da stehen [mm] |-i|^{100}
[/mm]
Damit wäre aber jetzt alles klar:
Damit wäre |z| = 1, da man auch schreiben kann [mm] [(-i)^{2}]^{50} \gdw [-(-1)^{2}]^{50} \gdw (1^{2})^{50} \gdw 1^{50} [/mm] = 1. Der Betrag von 1 ist ja 1.
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Hallo Phil92,
> Zur Info = habe mich verschrieben. es muss da stehen
> [mm]|-i|^{100}[/mm]
>
> Damit wäre aber jetzt alles klar:
>
> Damit wäre |z| = 1, da man auch schreiben kann
> [mm][(-i)^{2}]^{50} \gdw [-(-1)^{2}]^{50} \gdw (1^{2})^{50} \gdw 1^{50}[/mm]
> = 1. Der Betrag von 1 ist ja 1.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> habe folgende Aufgabe gegeben:
>
> z = [mm](\bruch{1+i}{1-i})^{100}[/mm]
>
> Nun soll ich den Betrag von z bestimmen. Habe aber leider
> nur folgende Ansätze:
>
> (1) Der Zähler ist z und der Nenner ist [mm]\overline{z}[/mm]
>
> (2) Laut Potenzregeln könnte man auch an den Zähler und
> an den Nenner jeweils den Exponetnet ^{100} schreiben.
> Demnach wäre der Zähler [mm](x+i)^{100}[/mm] und der Nenner
> [mm](x-i)^{100}.[/mm]
>
> Wie vereinfache ich das jetzt bzw. wie bekomme z überhaupt
> so hingeschrieben, dass ich am ende genau weiß, wie der
> Realteil und wie der Imaginärteil lauten? Dann könnte ich
> ja ganz einfach den Betrag bestimmen mit:
>
> |z| = [mm]\wurzel{(Re(z)^{2} + (Im(z))^{2}}[/mm]
Dein z ist von der Form
[mm] $z=(\bruch{w}{\overline{w}})^{100}$
[/mm]
Wegen [mm] $|w|=|\overline{w}|$ [/mm] ist [mm] $|z|=1^{100}=1$
[/mm]
FRED
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