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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Peter56 |
| Aufgabe | | Teilen Sie die Betragsfunktion f(x)= [mm] \left| x^2-4 \right| [/mm] -x in die entsprechenden Bereiche ein, berechnen Sie die Nullstellen und Extremwerte. Skizzieren Sie die Funktion. |
Ich habe noch eine Frage bezügliche dieser Aufgabe. Ist hier die Lösung, die Funktion nach x = [mm] \left| x^2-4 \right| [/mm] umzustellen und dann die grafen [mm] f_1(x)=x [/mm] und [mm] f_2(x)=\left| x^2-4 \right| [/mm] zu zeichnen? Die 3 Nullstellen bei [mm] x_1=-2 [/mm] , [mm] x_2=0 [/mm] , [mm] x_3=2 [/mm] ?
Wäre die Extremstelle dann [mm] x_E=4 [/mm] in dem gespiegelten Teil der Parabel?
Danke für jede Hilfe :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Mi 05.09.2012 | | Autor: | chrisno |
> Ist hier die Lösung, die Funktion nach x = [mm]\left| x^2-4 \right|[/mm]
> umzustellen und dann die grafen [mm]f_1(x)=x[/mm] und [mm]f_2(x)=\left| x^2-4 \right|[/mm]
> zu zeichnen?
Nein. Es ist eine Funktionsvorschrift. Mach daraus zwei, in denen jeweils die Betrragsstriche wegfallen.
Dazu musst Du heraussuchen, für welche x die Betragsstriche einfach weggelassen werden können. In den anderen Fällen musst Du sie durch eine Klammer mit einem Minuszeichen davor ersetzen.
Lass Dir die Funktion mal von Funkyplot zeichnen.
>Die 3 Nullstellen bei [mm]x_1=-2[/mm] , [mm]x_2=0[/mm] , [mm]x_3=2[/mm] ?
Das sind nicht die Nullstellen der Funktion. Zwei dieser Werte brauchst Du dennoch.
> Wäre die Extremstelle dann [mm]x_E=4[/mm] in dem gespiegelten Teil
> der Parabel?
fast.
Wenn Du die beiden Funktionsvorschriften hast, dann untersuchst Du sie ganz normal auf lokale Extrema (1. Ableitung = 0 ? usw.). Nur musst Du immer aufpassen, ob Du noch im Definitionsbereich bist. Dann gibt es noch zwei Randstellen, die Du so nicht untersuchen kannst. Da musst Du Dir dann etwas anderes überlegen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Peter56 |
Danke für die schnelle Antwort!
also für x [mm] \ge [/mm] 2,25 f(x)= [mm] x^2-4-x
[/mm]
und für x [mm] \le [/mm] 2,25 dann f(x)= [mm] -(x^2-4-x) [/mm] ???
Ich verstehe nicht, wieso das x in der Betragsfunktion nicht in Betragsstrichen steht.
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Hallo Peter56,
> Danke für die schnelle Antwort!
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> also für x [mm]\ge[/mm] 2,25 f(x)= [mm]x^2-4-x[/mm]
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> und für x [mm]\le[/mm] 2,25 dann f(x)= [mm]-(x^2-4-x)[/mm] ???
Nein, es ist doch [mm]|z|=\begin{cases} z, & \mbox{fuer } z\ge 0 \\
-z, & \mbox{fuer } z<0 \end{cases}[/mm]
Also [mm]|x^2-4|=\begin{cases} x^2-4, & \mbox{fuer } x^2-4\ge 0 \\
-(x^2-4)=4-x^2, & \mbox{fuer } x^2-4<0 \end{cases}[/mm]
Für welche [mm]x[/mm] ist [mm]x^2-4\ge 0[/mm]?
[mm]x^2-4\ge 0\gdw x^2\ge 4\gdw |x|\ge 2[/mm]
Also [mm]x\le -2[/mm] oder [mm]x\ge 2[/mm]
Ist dir das klar? Zeichne dir das am Zahlenstrahl mal auf oder löse die Betragsungleichung [mm] $|x|\ge [/mm] 2$ mal ganz formal gem. der obigen Definition auf ...
Nun überlege du, wann (also für welche x) denn [mm]x^2-4<0[/mm] ist ...
Wahlweise kannst du [mm] $(x^2-4)=(x+2)(x-2)$ [/mm] schreiben und dir überlegen, dass ein Produkt (aus 2 Faktoren) [mm] $\ge [/mm] 0$ ist, wenn beide Faktoren [mm] $\ge [/mm] 0$ oder beide Faktoren [mm] $\le [/mm] 0$ sind.
Entsprechend ist ein Produkt (aus 2 Faktoren) $<0$, wenn einer der Faktoren $<0$ und der andere $>0$ ist ...
>
> Ich verstehe nicht, wieso das x in der Betragsfunktion
> nicht in Betragsstrichen steht.
Nun, weil die Funktion so definiert ist und nicht als [mm]g(x)=|x^2-4-x|[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Peter56 |
na dann hatte ich den anfang ja doch richtig. Die funktion [mm] x^2-4 [/mm] wird null, wenn [mm] x\le [/mm] 2 .
und was mache ich mit dem x?
Die parabel der betragsfunktion habe ich glaube ich richtig aufgezeichnet. gespiegelt an der x-achse, sodass bei -2,2 die nullstellen sind und bei 4 ein maximum.
nur ich verstehe nicht ganz wie ich das x da mit reinbringen kann :(
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Hallo nochmal,
> na dann hatte ich den anfang ja doch richtig. Die funktion
> [mm]x^2-4[/mm] wird null, wenn [mm]x\le[/mm] 2 .
Nein, es ist [mm]x^2-4=0\gdw x=\pm 2[/mm]
>
> und was mache ich mit dem x?
Das musst du ranbasteln. Ich habe dir ja "nur" den Betrag aufgelöst, das hintere -x musst du nur noch mitschleppen
Es ist [mm]f(x)=|x^2-4|-x=\begin{cases} x^2-4-x, & \mbox{fuer } x\le -2 \ \text{oder} \ x\ge 2 \\
-(x^2-4)-x, & \mbox{fuer } -2
>
> Die parabel der betragsfunktion habe ich glaube ich richtig
> aufgezeichnet. gespiegelt an der x-achse, sodass bei -2,2
> die nullstellen sind und bei 4 ein maximum.
Die Funktion $f$ ist keine Parabel ...
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> nur ich verstehe nicht ganz wie ich das x da mit
> reinbringen kann :(
Zeichne dir erstmal die Funktion, die betragfreie Darstellung habe ich oben mal komplett aufgeschrieben ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Do 06.09.2012 | | Autor: | Peter56 |
okay danke für eure hilfe! Ich habe jetzt auch die Nullstellen bei [mm] x_1 [/mm] = 2,562 . [mm] x_2 [/mm] = 1,562 heraus.
Der Extrempunk müsste bei [mm] x_E [/mm] = -1/2 liegen.
Super, danke!
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Hallo Peter56,
> okay danke für eure hilfe! Ich habe jetzt auch die
> Nullstellen bei [mm]x_1[/mm] = 2,562 . [mm]x_2[/mm] = 1,562 heraus.
Besser:
[mm]x_{1}=\[\frac{\sqrt{17}+1}{2}\] \approx 2,562[/mm]
[mm]x_{2}=\[\frac{\sqrt{17}-1}{2}\] \approx 1,562[/mm]
> Der Extrempunk müsste bei [mm]x_E[/mm] = -1/2 liegen.
>
Genauso ist es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Super, danke!
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Do 06.09.2012 | | Autor: | chrisno |
Da fehlen noch zwei lokale Extrema. Hinsehen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mi 05.09.2012 | | Autor: | chrisno |
Drum habe ich Dir geraten, mal einen Plot zu machen. So ungefähr, wie diesen hier.[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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ja, die NS sind: [mm] x_{1}=-2, x_{2}=2 [/mm] (Minimas); [mm] x_{3}=0 [/mm] (Maxima)
die beiden Schranken der Funktion sind 4 und -4.
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Hallo peterpeter88,
> ja, die NS sind: [mm]x_{1}=-2, x_{2}=2[/mm] (Minimas); [mm]x_{3}=0[/mm]
> (Maxima)
>
> die beiden Schranken der Funktion sind 4 und -4.
Kannst du das bitte mal begründen!?
Es ist [mm] $f(2)=|2^2-4|-2=-2\neq [/mm] 0, [mm] f(-2)=2\neq [/mm] 0$ ...
Gruß
schachuzipus
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