Betragsgleichung lösen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Ich sitze mal wieder an diesen blöden Betragsgleichungen und komme einfach nicht auf den richtigen Lösungswegs, kann mir evtl. einer etwas Hilfestellung geben?
Danke :0)
[mm] \vmat{x}^3 [/mm] + [mm] \vmat{x-1}^{2.5} [/mm] = 9
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Mi 07.06.2006 | | Autor: | rotespinne |
der Betrag von ( x+1 ) soll natürlich auch hoch 3 gerechnet werden und NICHT hoch 2,5!!
|
|
|
| |
|
Hi, rotespinne,
also dann [mm] |x|^{3} [/mm] + [mm] |x-1|^{3} [/mm] = 9?
Du musst 3 Fälle unterscheiden:
1.Fall: x [mm] \ge [/mm] 1
2.Fall: 0 < x < 1
3.Fall: x [mm] \le [/mm] 0
Ich rechne Dir mal den 1. Fall durch:
Für x [mm] \ge [/mm] 1 kann man schreiben:
[mm] x^{3} [/mm] + [mm] (x-1)^{3} [/mm] = 9
woraus man durch Umformung erhält:
[mm] 2x^{3} [/mm] - [mm] 3x^{2} [/mm] + 3x - 10 = 0.
Eine Lösung rät man [mm] (x_{1} [/mm] = 2); weitere gibt es nicht, wie man z.B. nach einer Polynomdivision bemerkt.
Naja: Und so musst Du nun auch die anderen beiden Fälle lösen.
(Zur Kontrolle: [mm] x_{2} [/mm] = -1)
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
Hallo Zwerglein!
Danke, mit der Fallunterscheidung das wusste ich und für x [mm] \ge [/mm] o und x <o klappt das auch meist ganz gut.
Mit dem zweiten Fall komme ich nie wirklich zurecht......
Würdest du mir diesen bitte einmal vorechnen damit ich es mir anschauen kann und meine weiteren Betragsgleichungen evtl. lösen kann?
Das wäre sehr lieb!!!
|
|
|
| |
|
Huch, warum lautet denn der 1. Fall x>1 und NICHT x > o???
|
|
|
| |
|
Hi, rotespinne,
Du hast doch 2 Betragsterme, die Du auflösen (betragstrichfrei schreiben) musst: |x| und |x-1|
Für x [mm] \ge [/mm] 0 ist |x| = x, für x < 0 ist |x| = -x
Für x [mm] \ge [/mm] 1 ist |x-1| = x-1, für x < 1 ist |x-1| = -(x-1) = 1-x
Jetzt klar?
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
Hi, rotespinne,
Fall 0 < x < 1
Dort ist |x| = x, aber |x-1| = -(x-1) = 1-x
Somit erhältst Du [mm] x^{3} [/mm] + 1 - 3x + [mm] 3x^{2} [/mm] - [mm] x^{3} [/mm] = 9
bzw. [mm] 3x^{2} [/mm] - 3x - 8 = 0
Diese Gleichung hat zwar 2 Lösungen, aber die liegen beide AUSSERHALB des Intervalls ] 0 ; 1 [, sind daher nicht brauchbar!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
Hallo!
Danke :0) Klar schon, aber wenn ich es alleine anwenden muss wird es schwer......
[mm] \vmat{ x^{2}-3} [/mm] x [mm] \vmat{+1} [/mm] = 1
So, hier habe ich ja auch wieder 2 Terme die ich betragsfrei schreiben muss.
Aber hier fängt das Problm schon wieder an.... der 2. Term ist doch sowieso immer +1.
Und der erste...... ?
|
|
|
| |
|
Hallo rotespinne!
Soll das heißen: [mm] $\left|x^2-3\right| [/mm] * |+1| \ = \ 1$ ??
Dann hast Du Recht: der Betrag $|+1|_$ ergibt $1_$ .
Bei dem anderen musst Du die Fallunterscheidung immer derart ansetzen, dass der Term innerhalb der Betragsstriche größer oder kleiner als Null ist:
Fall 1: [mm] $x^2-3 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ $x^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 3$
[mm] $\gdw$ [/mm] $|x| \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \wurzel{3}$
[/mm]
Fall 1.1: $x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $+x \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \wurzel{3}$
[/mm]
Fall 1.2: $x \ < \ 0$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $-x \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \wurzel{3}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] -\wurzel{3}$
[/mm]
Damit gilt also für den Fall 1 mit [mm] $\left|x^2-3\right| [/mm] \ = \ [mm] +\left(x^2-3\right) [/mm] \ = \ [mm] x^2-3$ [/mm] für folgendes Intervall:
[mm] $\left] \ -\infty; \ -\wurzel{3} \ \right] [/mm] \ \ [mm] \cup [/mm] \ \ [mm] \left[ \ +\wurzel{3}; \ +\infty \ \right[$
[/mm]
Für dieses Intervall lautet die Gleichung also:
[mm] $\left(x^2-3\right)*1 [/mm] \ = \ 1$
Schaffst Du den Fall 2 nun selber?
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
