www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Uni-Analysis > Betragsungleichung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Analysis" - Betragsungleichung
Betragsungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Betragsungleichung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:28 So 07.11.2004
Autor: SilverSurfer

Hallo!
Kann mir bitte jemand weiter helfen...

Habe folgende Aufgabe zu lösen:

3|4x-1| > 2|2-5x|-3x+4

... durch die Beträge sind jeweils 2 Fälle zu unterscheiden. 2 ergeben eine leere Menge. Stimmt meine Lösungsmenge so?
Ist das richtig  $  [mm] \IL [/mm] = [mm] \{x | x\geq\frac{3}{5} \vee x < \frac{1}{4} \} [/mm] $ ?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Betragsungleichung: Zum Teil richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:16 So 07.11.2004
Autor: Paulus

Hallo SilverSurfer

> Hallo!
>  Kann mir bitte jemand weiter helfen...
>  
> Habe folgende Aufgabe zu lösen:
>  
> 3|4x-1| > |2-5x|-3x+4
>  
> ... durch die Beträge sind jeweils 2 Fälle zu

[ok] Welche Fälle hast du denn?

Übrigens: wenn man es geschickt macht, sind es dann insgesamt nur 3 Fälle! ;-)

> unterscheiden. 2 ergeben eine leere Menge. Stimmt meine
> Lösungsmenge so?
>  Ist das richtig  [mm]\IL = \{x | x\geq\frac{3}{5} \vee x < \frac{1}{4} \}[/mm]
> ?

[notok] Nein, leider nicht! $0_$ zum Beispiel gehört auch zu deiner Lösungsmenge, erfüllt aber die Ungleichung nicht! Das ergibt ja:

$ 3|-1| > |2|+4_$

$3 > 6_$

was offensichtlich nicht stimmt.

Ich schlage vor, du zeigst einmal, wie dur auf die falsche Lösungsmenge

[mm] $\IL [/mm] = [mm] \{x | x\geq\frac{3}{5} \vee x < \frac{1}{4} \}$ [/mm]

anstelle der richtigen Läsungsmenge

[mm] $\IL [/mm] = [mm] \{x | x < -\frac{3}{4} \vee x > \frac{1}{2} \}$ [/mm]
gekommen bist. Dann finden wir deine Fehler bestimmt heraus. :-)

Mit lieben Grüssen

Paul

Bezug
        
Bezug
Betragsungleichung: Lösungsansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 So 07.11.2004
Autor: SilverSurfer

Hallo Paulus!
Erstmal vielen Dank für die Antwort.

Mein Lösungsansatz lautet wie folgt:

$ 3|4x-1| > 2|2-5x|-3x+4 $

Fall 1:   $ 4x-1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge \bruch{1}{4} [/mm] $

       Fall 1.1   $ 2-5x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le \bruch{2}{5} [/mm] $ (Vorzeichenumkehr)

            $ 3(4x-1) > 2(2-5x)-3x+4 $
            $ 12x-3 > 4-10x-3x+4 $
            $ 12x-3 > 8-13x $
            $ 25x > 11 $
            $ x > [mm] \bruch{11}{25} [/mm] $

            $ [mm] \IL_{1.1} [/mm] = [mm] \{x | x \ge \bruch{1}{4} \wedge x \le \bruch{2}{5} \wedge x > \bruch{11}{25} \} [/mm] = [mm] \{ \} [/mm] $


       Fall 1.2   $ 2-5x < 0 [mm] \gdw [/mm] x > [mm] \bruch{2}{5} [/mm] $ (Vorzeichenumkehr)

            $ 3(4x-1) > 2 * -(2-5x)-3x+4 $
            $ 12x-3 > -4+10x-3x+4 $
            $ 12x-3 > 7x $
            $ 5x > 3 $
            $ x > [mm] \bruch{3}{5} [/mm] $

            $ [mm] \IL_{1.2} [/mm] = [mm] \{x | x \ge \bruch{1}{4} \wedge x > \bruch{2}{5} \wedge x > \bruch{3}{5} \} [/mm] = [mm] \{x | x > \bruch{3}{5} \} [/mm] $



Fall 2:   $ 4x-1 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < [mm] \bruch{1}{4} [/mm] $

       Fall 2.1   $ 2-5x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le \bruch{2}{5} [/mm] $ (Vorzeichenumkehr)

            $ 3 * -(4x-1) > 2(2-5x)-3x+4 $
            $ -12x+3 > 4-10x-3x+4 $
            $ -12x+3 > 8-13x $
            $ -12x+13x > 8-3 $
            $ x > 5 $

            $ [mm] \IL_{2.1} [/mm] = [mm] \{x | x < \bruch{1}{4} \wedge x \le \bruch{2}{5} \wedge x > 5 \} [/mm] = [mm] \{ \} [/mm] $


       Fall 2.2   $ 2-5x < 0 [mm] \gdw [/mm] x > [mm] \bruch{2}{5} [/mm] $ (Vorzeichenumkehr)

            $ 3 * -(4x-1) > 2 * -(2-5x)-3x+4 $
            $ -12x+3 > -4+10x-3x+4 $
            $ -12x+3 > 7x $
            $ -19x > -3 $
            $ x < [mm] \bruch{3}{19} [/mm] $ (Vorzeichenumkehr)

            $ [mm] \IL_{2.2} [/mm] = [mm] \{x | x < \bruch{1}{4} \wedge x > \bruch{2}{5} \wedge x < \bruch{3}{19} \} [/mm] = [mm] \{ \} [/mm] $

$ [mm] \Rightarrow \IL [/mm] = [mm] \IL_{1.1} \cup \IL_{1.2} \cup \IL_{2.1} \cup \IL_{2.2} [/mm] = [mm] \{x | x > \bruch{3}{5} \} [/mm] $


MfG,
Sascha
Bezug
                
Bezug
Betragsungleichung: perfekt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Di 09.11.2004
Autor: Marc

Hallo SilverSurfer!

> Mein Lösungsansatz lautet wie folgt:
>  
> [mm]3|4x-1| > 2|2-5x|-3x+4[/mm]
>  
> Fall 1:  [mm]4x-1 \ge 0 \gdw x \ge \bruch{1}{4}[/mm]
>  
> Fall 1.1  [mm]2-5x \ge 0 \gdw x \le \bruch{2}{5}[/mm]
> (Vorzeichenumkehr)
>  
> [mm]3(4x-1) > 2(2-5x)-3x+4[/mm]
>              [mm]12x-3 > 4-10x-3x+4[/mm]
>    
>           [mm]12x-3 > 8-13x[/mm]
>              [mm]25x > 11[/mm]
>            
>  [mm]x > \bruch{11}{25}[/mm]
>  
> [mm]\IL_{1.1} = \{x | x \ge \bruch{1}{4} \wedge x \le \bruch{2}{5} \wedge x > \bruch{11}{25} \} = \{ \}[/mm]

[ok]

> Fall 1.2  [mm]2-5x < 0 \gdw x > \bruch{2}{5}[/mm]
> (Vorzeichenumkehr)
>  
> [mm]3(4x-1) > 2 * -(2-5x)-3x+4[/mm]

Das ist ein bisschen unschön aufgeschrieben, also dass ein * ungeschützt auf ein - trifft, aber war wohl nur eine Nachlässigkeit (und irgendetwas muss ich zu meckern finden, sonst bin ich nicht zufrieden :-))

>              [mm]12x-3 > -4+10x-3x+4[/mm]
>  
>             [mm]12x-3 > 7x[/mm]
>              [mm]5x > 3[/mm]
>              [mm]x > \bruch{3}{5}[/mm]
>  
>
> [mm]\IL_{1.2} = \{x | x \ge \bruch{1}{4} \wedge x > \bruch{2}{5} \wedge x > \bruch{3}{5} \} = \{x | x > \bruch{3}{5} \}[/mm]

[ok]

> Fall 2:  [mm]4x-1 < 0 \gdw x < \bruch{1}{4}[/mm]
>  
> Fall 2.1  [mm]2-5x \ge 0 \gdw x \le \bruch{2}{5}[/mm]
> (Vorzeichenumkehr)
>  
> [mm]3 * -(4x-1) > 2(2-5x)-3x+4[/mm]
>              [mm]-12x+3 > 4-10x-3x+4[/mm]
>  
>             [mm]-12x+3 > 8-13x[/mm]
>              [mm]-12x+13x > 8-3[/mm]
>    
>           [mm]x > 5[/mm]
>  
> [mm]\IL_{2.1} = \{x | x < \bruch{1}{4} \wedge x \le \bruch{2}{5} \wedge x > 5 \} = \{ \}[/mm]

[ok]

> Fall 2.2  [mm]2-5x < 0 \gdw x > \bruch{2}{5}[/mm]
> (Vorzeichenumkehr)
>  
> [mm]3 * -(4x-1) > 2 * -(2-5x)-3x+4[/mm]
>              [mm]-12x+3 > -4+10x-3x+4[/mm]
>  
>             [mm]-12x+3 > 7x[/mm]
>              [mm]-19x > -3[/mm]
>            
>   [mm]x < \bruch{3}{19}[/mm] (Vorzeichenumkehr)
>  
> [mm]\IL_{2.2} = \{x | x < \bruch{1}{4} \wedge x > \bruch{2}{5} \wedge x < \bruch{3}{19} \} = \{ \}[/mm]

[ok]

> [mm]\Rightarrow \IL = \IL_{1.1} \cup \IL_{1.2} \cup \IL_{2.1} \cup \IL_{2.2} = \{x | x > \bruch{3}{5} \}[/mm]

[ok], super!
Bis auf das "Mal-Minus-Problem" eine perfekte Lösung.

Die Lösungsmenge habe ich auch zusätzlich mit []FunkyPlot überprüft, und sie stimmt (selbst wenn ich bei der Korrektur also einen Fehler übersehen hätte).

Well done,
Marc
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]