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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Do 24.01.2008 | | Autor: | bonczi |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Menge aller reellen Lösungen x der Ungleichung
| |x+1| -4| [mm] \le [/mm] 3 |
hallo leute,
bereite mich auf meinen abschlusstest vor und beschäftige mich gerade mit betragsungleichungen. bei den einfachen habe ich die lösung immer herausbekommen, aber die bereitet mir kopfzerbrechen. wäre nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
meine Rechnung:
1.Fall |x+1| -4 [mm] \ge [/mm] 0
Fall 1.1: x+1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1
x+1-4 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] 3
x+1-4 [mm] \le [/mm] 3 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] 6
Fall 1.2 x+1 < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x < -1
-x-1-4 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] -5
-x-1-4 [mm] \le [/mm] 3 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] -8
2.Fall |x+1| -4 < 0
Fall 2.1 x+1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1
x+1-4 < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x < 3
-x-1+4 [mm] \le [/mm] 3 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] -6
Fall 2.2 x+1 < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x < -1
-x-1-4 < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x > -5
x+1+4 [mm] \le [/mm] 3 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] -2
Ist die Rechnung so korrekt? mein Problem besteht jetzt darin, eine lösungsmenge zu bestimmen, aufgrund der doppelten betragsstriche bin ich irgendwie verwirrt...
lg bonczi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Do 24.01.2008 | | Autor: | abakus |
Kontrolliere deine Lösung grafisch: Zeichne die Funktion y=|x|.
Wie sieht im Vergleich dazu y=|x+1| aus? (Wertetabelle... oder du weißt auch so, dass der Graph in x-Richtung um -1 Einheiten verschoben wird.
Und y=|x+1|-4 ? -->4 Einheiten nach unten schieben!
Betrag davon?
Alles oberhalb der x-Achse beibehalten, den Graph unter der Achse nach oben spiegeln!
Werte nun aus: Für welche x sind die erhaltenen Funktionswerte kleiner oder gleich 3?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Do 24.01.2008 | | Autor: | bonczi |
den graph zu zeichnen bringt mir garnix, denn in der klausur hab ich dafür nicht genug zeit. es muss auch anderst gehen. und dieser lösungsweg interressiert mich. man muss auch aus der rechnung eine lösungsmenge bestimmen können...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Do 24.01.2008 | | Autor: | abakus |
Es reicht aber aus, um schnell (schneller als bei den aufwändigen Fallunterscheidungen) die Richtigkeit deines Lösungswegs zu überprüfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Do 24.01.2008 | | Autor: | bonczi |
ich möchte aber trotzdem gerne wissen, wie man das mit der rechnung macht.
Außerdem bezweifle ich, dass das dem prof ausreicht.
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Hallo bonczi,
Das ist ziemlich unübersichtlich, und irgendwie muss sich ein Fehler eingeschlichen haben.
Ich würde dir empfehlen, die Beträge von "innen" nach "außen" aufzulösen, also zu beginnen mit
[mm] $|x+1|\ge [/mm] 0$ oder $|x+1|<0$
Und dann abhängig davon den äußeren Betrag untersuchen.
Dann solltest du die Lösungsmenge als Intervall bzw. als Vereinigung von Intervallen angeben.
Ich habe heraus, [mm] $x\in[-8,-2]\cup[0,6]$
[/mm]
Probier's mal von innen nach außen, wie beim Auflösen von Klammern...
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Do 24.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wirklich, grad für ne Klausur solltest du das mit dem Zeichnen probiern, auch von innen nach aussen:
zeichne x+1, klapp den negativen Teil nach oben, du hast |x+1| schieb das ergebnis 4 nach unten.
klapp wieder alles negative nach oben. du hast ||x+1|-4|
fertig, wenn dus ein bissel übst in höchstens 2 Minuten.
Jetz noch die Gerade y=3 und du siehst direkt was drunter liegt.
Zeit, maximum 3 Min. und jetzt überleg, wie lange du zu deinen rechnungen gebraucht hast, und da kann man sich auch noch beliebig verirren.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Do 24.01.2008 | | Autor: | bonczi |
ja stimmt schon, aber darf man das denn auch und bekommt man dafür die volle punktzahl... in den übungen haben wir immer nur solche rechnungen gemacht. das zeichnen ist für mich garkein problem, da habe ich auch die lösung herausbekommen. aber ich bin mir halt nicht sicher, ob ich das in der klausur auch so machen darf...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Do 24.01.2008 | | Autor: | bonczi |
aber ich habe doch von innen nach außen aufgelöst... oder?
also nochmal neu:
x+1 [mm] \ge [/mm] 0 für x [mm] \ge [/mm] -1, dann x+1-4 [mm] \ge [/mm] 0 für x [mm] \ge [/mm] 3
[mm] \Rightarrow [/mm] x+1-4 [mm] \le [/mm] 3 (3 addieren)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] 6
x+1 < 0 für x < -1, dann -x-1-4 [mm] \ge [/mm] 0 für x [mm] \le [/mm] -5
[mm] \Rightarrow [/mm] -x-1-4 [mm] \le [/mm] 3 (5 addieren)
[mm] \Rightarrow [/mm] -x [mm] \le [/mm] 8 (mit -1 multiplizieren)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] -8
x+1 [mm] \ge [/mm] 0 für x [mm] \ge [/mm] -1, dann x+1-4 < 0 für x < 3
[mm] \Rightarrow [/mm] -x-1+4 [mm] \le [/mm] 3 (3 addieren)
[mm] \Rightarrow [/mm] -x [mm] \le [/mm] 6 (-1 multiplizieren)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] -6
x+1 < 0 für x < -1, dann -x-1-4 < 0 für x > -5
[mm] \Rightarrow [/mm] -(-x-1-4) [mm] \le [/mm] 3
[mm] \Rightarrow [/mm] x+1+4 [mm] \le [/mm] 3 (5 subtrahieren)
[mm] \Rightarrow [/mm] x \ le -2
*heul* schon wieder der selbe mist! was ist da denn mal nur falsch??? ich krieg hier noch ne krise...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Do 24.01.2008 | | Autor: | bonczi |
so hätte da noch eine frage, das mit dem zeichnen ist doch nich so leicht, wie zeichne ich denn |x| > |x+1| ein? wertetabelle?
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Hallo,
nein, das ist zu aufwendig
Zeichne |x| ein, das kennst du ja
|x+1| hat denselben Verlauf, ist nur um 1 nach links verschoben.
Dann ist die Ungleichung |x|>|x+1| dort erfüllt, wo der Graph von |x| oberhalb des Graphen von |x+1| verläuft.
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
das ist schon viel besser und fast 100% richtig, du hast dich nur 1mal verrechnet.
Und dann immer die Intervalle angeben:
> aber ich habe doch von innen nach außen aufgelöst... oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
gute Idee 
>
> also nochmal neu:
>
> x+1 [mm]\ge[/mm] 0 für x [mm]\ge[/mm] -1, dann x+1-4 [mm]\ge[/mm] 0 für x [mm]\ge[/mm] 3
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x+1-4 [mm]\le[/mm] 3 (3 addieren)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\le[/mm] 6
Also insgesamt hast du an x die Bedingungen: [mm] $x\ge-1\wedge x\ge 3\wedge x\le [/mm] 6$
Also [mm] $x\in[3,6]$
[/mm]
>
> x+1 < 0 für x < -1, dann -x-1-4 [mm]\ge[/mm] 0 für x [mm]\le[/mm] -5
> [mm]\Rightarrow[/mm] -x-1-4 [mm]\le[/mm] 3 (5 addieren)
> [mm]\Rightarrow[/mm] -x [mm]\le[/mm] 8 (mit -1 multiplizieren)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\ge[/mm] -8
Hier sind die Bedingungen also: [mm] $x<-1\wedge x\le-5\wedgex\ge-8$
[/mm]
Also [mm] $x\in[-8,-5]$
[/mm]
>
> x+1 [mm]\ge[/mm] 0 für x [mm]\ge[/mm] -1, dann x+1-4 < 0 für x < 3
> [mm]\Rightarrow[/mm] -x-1+4 [mm] \red{=-x+3}[/mm] [mm]\le[/mm] 3 (3 addieren) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") subtrahieren!!
> [mm]\Rightarrow[/mm] -x [mm]\le[/mm] 6 (-1 multiplizieren)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\ge[/mm] -6
Es ist dann [mm] $x\ge [/mm] 0$ !!
Also insgesamt [mm] $x\ge-1\wedge x<3\wedge x\ge [/mm] 0$, also [mm] $x\in[0,3)$
[/mm]
>
> x+1 < 0 für x < -1, dann -x-1-4 < 0 für x > -5
> [mm]\Rightarrow[/mm] -(-x-1-4) [mm]\le[/mm] 3
> [mm]\Rightarrow[/mm] x+1+4 [mm]\le[/mm] 3 (5 subtrahieren)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x \ le -2
Also [mm] $x<-1\wedge x>-5\wedge x\le-2$, [/mm] also [mm] $x\in(-5,-2]$
[/mm]
>
> *heul* schon wieder der selbe mist! was ist da denn mal nur
> falsch??? ich krieg hier noch ne krise...
Dazu besteht kein Grund, du musst nur deine Ergebnisse nur interpretieren
Nun noch schnell die 4 Intervalle vereinigen und du hast deine Lösungsmenge
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Do 24.01.2008 | | Autor: | bonczi |
juhuuu dann kann ich nachher beruhigt schlafen gehen! danke danke danke! ;) L= {-8 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] -2 [mm] \vee [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 6}
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