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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:54 Fr 19.10.2012 | | Autor: | betina |
| Aufgabe | | Berechne die Betragsungleichung |x+1| + |x-1| [mm] \le [/mm] 2 |
Hallo
es geht mal wieder um eine Aufgabe zur Betragsungleichung, die ich im Internet gefunden habe, wo aber leider gar keine Lösung dabei war..
Ich schreibe euch jetzt mal nach einander auf wie ich es gerechnet habe (nicht mehr in Tabellenformat mit PDF-Datei im Anhang  !!! )
Fall 1. 1
betrag im 1. Term ist [mm] \ge [/mm] 0 also -> x+1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1
betrag im 2. Term ist [mm] \ge [/mm] 0 also -> x-1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] 1
Es ist ein Intervallbereich im 1. Fall vorhanden L{x| x [mm] \ge [/mm] 1}-> x [mm] \in [/mm] [1,+ [mm] \infty [/mm] )
|x+1| + |x-1| [mm] \le [/mm] 2
x+1 + x-1 [mm] \le [/mm] 2
x [mm] \le [/mm] 1
[mm] L_{1.1} [/mm] = {x| -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 }
Fall 1.2
betrag im 1. Term ist [mm] \ge [/mm] 0 also -> x+1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1
betrag im 2. Term ist < 0 also -> x-1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x < 1
Es ist ein Intervallbereich im 1. Fall vorhanden L{x| -1 [mm] \le [/mm] x < 1 ) }->[red] x [mm] \in [/mm] [-1,+ 1 )
x+1 - x + 1 [mm] \le [/mm] 2
2 [mm] \le [/mm] 2 -> falsche Aussage , also gibt es beim Fall 1.1 keine Lösung
[mm] L_{1.2} [/mm] = { }
Fall 2.1
betrag im 1. Term ist < 0 also -> x+1 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < -1
betrag im 2. Term ist [mm] \ge [/mm] 0 also -> x - 1 < 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] 1
Kein intervallbereich vorhanden, da x nicht < -1 und gleichzeitig [mm] \ge [/mm] 1 sein kann
L _{2.1} = { }
Fall 2.2
betrag im 1. Term ist < 0 also -> x+1 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < -1
betrag im 2. Term ist < 0 also -> x - 1 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < 1
L = {x| x < -1 }
- x - 1 - x + 1 [mm] \le [/mm] 2
x [mm] \ge [/mm] -1
L = {x| x [mm] \ge [/mm] -1 }
[mm] L_{2.2} [/mm] = {x| -1 [mm] \le [/mm] x < 1 }
x [mm] \in [/mm] [-1, 1 )
Ist das bis hier hin richtig was ich gerechnet habe?
Danke für eure Kontrolle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:53 Fr 19.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo betina,
du bezeichnest gewisse Mengen mit L, [mm] $L_{1.1}$, [/mm] usw.. Ob dein Ansatz stimmt, hängt auch davon ab, was diese Mengen eigentlich angeben sollen. Ich vermute mal, [mm] $L_{1.1}$ [/mm] soll die Menge aller [mm] $x\in\IR$ [/mm] sein, die zum Fall 1.1 führen und die Gleichung lösen.
> Fall 1. 1
>
> betrag im 1. Term ist [mm]\ge[/mm] 0 also -> x+1 [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] x [mm]\ge[/mm]
> -1
> betrag im 2. Term ist [mm]\ge[/mm] 0 also -> x-1 [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] x [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 1
>
> Es ist ein Intervallbereich im 1. Fall vorhanden L$\{$x| x [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1$\}$-> x [mm]\in[/mm] [1,+ [mm]\infty[/mm] )[/red]
Schöner: "Der Fall 1.1 liegt genau dann vor, wenn [mm] $x\in[1,\infty)$."
[/mm]
"Für [mm] x\in[1,\infty) [/mm] sind folgende Ungleichungen äquivalent:"
> |x+1| + |x-1| [mm]\le[/mm] 2
> x+1 + x-1 [mm]\le[/mm] 2
> x [mm]\le[/mm] 1
> [red][mm]L_{1.1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\{$x| -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1 $\}$
Wie kommst du darauf? Du hattest $x\le1$, nicht $|x|\le1$.
> Fall 1.2
>
> betrag im 1. Term ist [mm]\ge[/mm] 0 also -> x+1 [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] x [mm]\ge[/mm]
> -1
> betrag im 2. Term ist < 0 also -> x-1 [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x < 1
>
> Es ist ein Intervallbereich im 1. Fall vorhanden L$\{$x| -1 [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x < 1 ) $\}$-> x [mm]\in[/mm] [-1,+ 1 )[/red]
>
> x+1 - x + 1 [mm]\le[/mm] 2
> 2 [mm]\le[/mm] 2 -> falsche Aussage , also gibt es beim Fall 1.1
> keine Lösung
[mm] $2\le2$ [/mm] ist eine richtige Aussage: Sie bedeutet $2<2$ oder $2=2$. Und wegen $2=2$ ist sie wahr.
> Fall 2.1
>
> betrag im 1. Term ist < 0 also -> x+1 < 0 [mm]\gdw[/mm] x < -1
> betrag im 2. Term ist [mm]\ge[/mm] 0 also -> x - 1 < 0 [mm]\gdw[/mm] x
> [mm]\ge[/mm] 1
> Kein intervallbereich vorhanden,
(Genau genommen wird man die leere Menge auch als Intervall zulassen.)
> da x nicht < -1 und
> gleichzeitig [mm]\ge[/mm] 1 sein kann
> L _{2.1} = [mm] $\{ \}$
[/mm]
Wenn meine Vermutung zur Bedeutung von [mm] $L_{2.1}$ [/mm] stimmt: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Fall 2.2
>
> betrag im 1. Term ist < 0 also -> x+1 < 0 [mm]\gdw[/mm] x < -1
> betrag im 2. Term ist < 0 also -> x - 1 < 0 [mm]\gdw[/mm] x <
> 1
> L = {x| x < -1 }
>
> - x - 1 - x + 1 [mm]\le[/mm] 2
> [red] x [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
-1
>
> L = $\{$x| x [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
-1 $\}$
>
> [mm]L_{2.2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\{$x| -1 [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x < 1 $\}$
Wenn meine Vermutung zur Bedeutung von $L_{2.2}$ stimmt: Nein. Z.B. $x=0$ liegt in deiner Menge $L_{2.2}$, aber für $x=0$ liegt gar nicht der Fall 2.2 vor.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo, ich zeige dir mal die vier Fälle
[mm] |x+1|+|x-1|\le2
[/mm]
1. Fall:
[mm] x+1\ge0 [/mm] somit [mm] x\ge-1
[/mm]
[mm] x-1\ge0 [/mm] somit [mm] x\ge1
[/mm]
für die Lösungsmenge können also nur Zahlen in Frage kommen [mm] x\ge1
[/mm]
[mm] x+1+x-1\le2
[/mm]
[mm] 2x\le2
[/mm]
[mm] x\le1
[/mm]
aus [mm] x\ge1 [/mm] und [mm] x\le1 [/mm] folgt für die Lösungsmenge nur x=1
2. Fall:
[mm] x+1\ge0 [/mm] somit [mm] x\ge-1
[/mm]
x-1<0 somit x<1
für die Lösungsmenge können also nur Zahlen in Frage kommen [mm] -1\le [/mm] x<1
[mm] x+1-(x-1)\le2
[/mm]
[mm] x+1-x+1\le2
[/mm]
[mm] 2\le2 [/mm] ist eine wahre Aussage
für die Lösungsmenge hast du also [mm] -1\le [/mm] x<1
3. Fall:
x+1<0 somit x<-1
[mm] x-1\ge0 [/mm] somit [mm] x\ge1
[/mm]
es gibt keine Zahl, für die gilt x<-1 und [mm] x\ge1, [/mm] Fall erledigt
4. Fall:
x+1<0 somit x<-1
x-1<0 somit x<1
für die Lösungsmenge können also nur Zahlen in Frage kommen x<-1
[mm] -(x+1)-(x-1)\le2
[/mm]
[mm] -x-1-x+1\le2
[/mm]
[mm] -2x\le2
[/mm]
[mm] x\ge1
[/mm]
es gibt keine Zahl, für die gilt x<-1 und [mm] x\ge1, [/mm] Fall erledigt
Für die Lösungsmenge der Ungleichung bekommst du aus
1. Fall: x=1
2. Fall: [mm] -1\le [/mm] x<1
die Vereinigung ergibt also [mm] -1\le x\le [/mm] 1
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 19.10.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo betina,
wie es scheint, beschäftigst du dich intensiv mit Betragsungleichungen.
Dein Vorgehen ist ja richtig. Immer schön die Fallunterscheidungen.
Es gibt aber auch noch schwierigere Brocken an Ungleichungen. Wenn du Bock und Zeit hast, so kannst du dich ja an dieser hier versuchen:
$$4|x+1|+5>3|x+2|+2|x-1|$$
Hier muss man recht "viele" Fallunterscheidungen vornehmen. Ich denke, dass die Aufgabe noch einmal gut das Können unter Beweis stellt.
Eine Lösung dazu existiert auch:
![[]](/images/popup.gif) Lösung der Ungleichung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Fr 19.10.2012 | | Autor: | betina |
Hallo tobit09 , steffi21 und Richie1401
als erstes: super riesiges Dankeschön, dass ihr tobit09 und steffi21 mir bei dieser Aufgabe geholfen habt, kontrolliert und korrigiert habt!
Habe die Aufgabe jetzt nochmal komplett neu und jetzt auch richtig auf mein Blatt geschrieben.
Ja Richie, wie du und wahrscheinlich ganz viele andere gemerkt hast, dass ich mich in letzter Zeit nur mit Betragsungleichungen beschäftige.
Der Termin meiner Matheklausur ist zwar noch weit weg.. aber dennoch muss ich mich jetzt richtig ins Zeug legen, da ich nur noch einen einzigen und letzten Versuch in Mathe habe.. Also dieses mal MUSS es klappen.
Und in jeder Klausur kommt eine Betragsungleichung drin vor, und dafür gibt schöne nette Punkte (Wenn man sie schließlich auch komplett richtig berechnet hat)
Ich finde es echt super, dass du mir diese Betragsungleichungsaufgabe, !!auch noch mit Lösungsweg!! gegeben hast. Vielen Dank richie. Die Aufgabe habe ich direkt zu meinen anderen gesammelten Betragsungleichungsaufgaben dazugeschrieben. Nur her mit solchen guten Betragsungleichungsaufgaben
Muss aber noch sagen, dass ich vorher noch einfachere Betragsungleichungen lernen/lösen will. Und dabei brauche ich bestimmt wieder eure große Unterstützung.
Erst wenn ich mir bei solchen Aufgaben beim lösen ganz sicher bin, werde ich mich an diese Aufgabe ran machen. Dann kann ich anhand dieser Aufgabe schön testen, ob ich es verstanden habe bzw. die Aufgabe fehlerfrei lösen kann.
Also nochmal super vielen Dank an euch drein......
......und bis zur nächsten Betragsungleichungsaufgabe, bei der ich mir bei der Richtigkeit meines Ergebnisses nicht sicher bin 
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