Betragsungleichung Bruch < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Do 13.09.2012 | | Autor: | betina |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Lösungsmenge für x [mm] \in \IR [/mm] von 2 - [mm] \bruch{|3x - 1|}{2x} [/mm] > 4 |
Hallo
ich brauche eure Hilfe bei dieser Aufgabe.
LEIDER bin ich bei dieser (!!!sehr einfach aussehende!!) Aufgabe total überfordert...
Jetzt brauche ich mehrere die ganz viel Geduld mitbringen. So dass ich die Aufgabe mit euch GEMEINSAM SCHRITT FÜR SCHRITT lösen kann
Wäre das möglich wenn wir schon mal mit dem 1. Schritt anfangen können? Sollte ich jetzt zuerst den Bruch auflösen, also die ganze Gleichung mit 2x multiplizieren.. Oder was genau ist hier als erstes zu machen ?
Vielen Dank für eure Hilfe !!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Do 13.09.2012 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie die Lösungsmenge für x [mm]\in \IR[/mm] von 2 -
> [mm]\bruch{|3x - 1|}{2x}[/mm] > 4
> Hallo
> ich brauche eure Hilfe bei dieser Aufgabe.
>
> LEIDER bin ich bei dieser (!!!sehr einfach aussehende!!)
> Aufgabe total überfordert...
Hallo,
bevor du in den Bruch mit dem Betrag eingreifst, solltest du zumindest mal auf beiden Seiten "-2" rechnen, um eine erste kleine Vereinfachung zu schaffen.
Dann multipliziere die Gleichung mit 2x.
Denke an eine Fallunterscheidung (x<0 und x>0).
Gruß Abakus
>
> Jetzt brauche ich mehrere die ganz viel Geduld mitbringen.
> So dass ich die Aufgabe mit euch GEMEINSAM SCHRITT FÜR
> SCHRITT lösen kann
>
> Wäre das möglich wenn wir schon mal mit dem 1. Schritt
> anfangen können? Sollte ich jetzt zuerst den Bruch
> auflösen, also die ganze Gleichung mit 2x multiplizieren..
> Oder was genau ist hier als erstes zu machen ?
>
>
> Vielen Dank für eure Hilfe !!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Do 13.09.2012 | | Autor: | betina |
Hallo abakus
ok es geht mit den ersten schrittchen los:
Schreib nochmal Ausgangsaufgabe hin
2 - [mm] \bruch{|3x - 1|}{2x} [/mm] > 4
Jetzt wie du gesagt hast die ganze Gleichung -2 rechnen
2 - [mm] \bruch{|3x - 1|}{2x} [/mm] > 4 / -2
- [mm] \bruch{|3x - 1|}{2x} [/mm] > 2 um jetzt den Bruch wegzubekommen mit 2x multiplizieren
- [mm] \bruch{|3x - 1|}{2x} [/mm] > 2 / * 2x
- [mm] \bruch{|6x^{2} - 2x|}{2x} [/mm] > 4x
Mein Gefühl sagt mir dass hier schon Fehler sind
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Do 13.09.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus
> ok es geht mit den ersten schrittchen los:
> Schreib nochmal Ausgangsaufgabe hin
> 2 - [mm]\bruch{|3x - 1|}{2x}[/mm] > 4
>
> Jetzt wie du gesagt hast die ganze Gleichung -2 rechnen
> 2 - [mm]\bruch{|3x - 1|}{2x}[/mm] > 4 / -2
>
> - [mm]\bruch{|3x - 1|}{2x}[/mm] > 2 um jetzt den Bruch wegzubekommen
> mit 2x multiplizieren
>
> - [mm]\bruch{|3x - 1|}{2x}[/mm] > 2 / * 2x
>
> - [mm]\bruch{|6x^{2} - 2x|}{2x}[/mm] > 4x
>
> Mein Gefühl sagt mir dass hier schon Fehler sind
Dein Gefühl täuscht dich nicht.
EDIT: Es war zwar nicht ganz falsch, was du gemacht hast, aber du hast den linken Term unnötig verkompliziert.
Wenn du [mm]\bruch{|3x - 1|}{2x}[/mm] mit 2x multiplizierst, erhältst du [mm]\bruch{\red{2x}|3x - 1|}{2x}[/mm], was nach dem Kürzen einfach nur noch |3x-1| ergibt.
Denke nun auch noch daran, dass eine Multiplikation mit einer negativen Zahl das Relationszeichen umdreht.
Betrachte zunächst den Fall x>0 (da dreht sich das Relationszeichen bei Multiplikation mit 2x nicht)
und forme die Ungleichung diesmal richtig um.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Do 13.09.2012 | | Autor: | betina |
2x * [mm] \bruch{|3x - 1 |}{2x} [/mm] > 2 / * 2x
2x kürzt sich raus daraus folgt
|3x - 1 | > 4x
Die zahl mit der ich multipliziert habe ist eine posetive Zahl daher lass ich dass Zeichen > so stehen
Jetzt nehmen wir an dass dass x > 0 sei , was also heisst dass ich die Betragsstriche weglassen kann. Also muss ich schreiben
Fall 1: x > 0
|3x - 1 | > 4x
3x - 1 > 4x / + 1
3x > 4x + 1 / - 4x
-1x < 1 Hier habe ich das Vorzeichen geändert da -4x eine negative Zahl ist oder muss es so heissen:
3x > 4x + 1 / - 4x
-1x > 1 / * (-1)
x < -1 Habe also erst hier als ich mit der negativen MULTIPLIZIERT habe das Zeichen gedreht
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Hi!
> 2x * [mm]\bruch{|3x - 1 |}{2x}[/mm] > 2 / * 2x
>
> 2x kürzt sich raus daraus folgt
> |3x - 1 | > 4x
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Allerdings solltest du über diese beiden Zeilen schreiben: 1. Fall: $x>0$
>
> Die zahl mit der ich multipliziert habe ist eine posetive
> Zahl daher lass ich dass Zeichen > so stehen
> Jetzt nehmen wir an dass dass x > 0 sei , was also heisst
> dass ich die Betragsstriche weglassen kann. Also muss ich
> schreiben
Dass $x>0$ ist, musstest du annehmen, als du mit $2x$ multipliziert hast.
Jetzt musst du aber eine zweite Fallunterscheidung machen. So zu sagen Fall 1.1. Hier betrachtest du nun den Betrag.
Dieser ist dann $|3x-1|>0$ [mm] $\Rightarrow x>\frac{1}{3}$
[/mm]
>
> Fall 1: x > 0 [mm] $\red{DAS-IST-AN-DIESER-STELLE-FALSCH}$
[/mm]
> |3x - 1 | > 4x
>
> 3x - 1 > 4x / + 1
>
> 3x > 4x + 1 / - 4x
> -1x < 1 Hier habe ich das Vorzeichen geändert da -4x
> eine negative Zahl ist oder muss es so heissen:
[mm] $\red{HIER-MACHST-DU-EINEN-ESSENTIELLEN-FEHLER}$
[/mm]
Das Ungleichheitszeichen dreht sich nur, wenn du mit einer [mm] $\red{NEGATIVEN}$ [/mm] Zahl multipliziertst bzw. Dividierst.
Bei der Addition und Subtraktion dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht!!!
Es ist sehr wichtig, dass du bei diesen Betragsrechnungen sehr strukturiert vorgehst. Weiterhin musst du stets beachten, dass wenn du mit einer Variable (hier $x$) multipliziertst bzw. dividierst eine Fallunterscheidung zwingend notwendig ist.
Wenn du diesen Weg also weitergehst hast du ingesamt vier Fallunterscheidungen.
$Fall-1: x>0$
$Fall-1.1: 3x-1>0$
$Fall-2:x<0$
$Fall-2.1:3x-1<0$
Valerie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Do 13.09.2012 | | Autor: | betina |
Vielen Dank!!
Ich werde mir deine/eure Antworten genau angucken und euch dann nochmal alles von vorne aufschreiben, so dass also die Aufgabe in einem Stück richtig da steht und dann gehts weiter  Damit es übersichtlicher ist. Ich hab die Frage der Fälligkeit noch mindestens bis morgen falls ich es heute nicht mehr schaffe, einen weiteren schritt zu dieser Aufgabe dazu zuschreiben.
Also entweder bis gleich oder entweder bis morgen
lg betina
(Nur mal ne Frage nebenbei.. wenn ich euch eine Frage stelle und es wird auf diese Frage geantwortet steht da bei mir gelb markiert "reserviert" wenn ihr mir dann eure Antwort zu meiner Frage geschickt habt und ich darauf antworte- steht dann auch bei euch was bzw. ist was makiert? Seht ihr dann dass ich auf eure Frage antworte (wie z.B. wird eine Rückfrage erstellt oder so was in der Art )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Fr 14.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Fallunterscheidungen.
>
> [mm]Fall-1: x>0[/mm]
>
> [mm]Fall-1.1: |3x-1|>0[/mm]
Das ist für x [mm] \ne [/mm] 1/3 immer erfüllt !!!
Du meinst wohl 3x-1>0
>
> [mm]Fall-2:x<0[/mm]
>
> [mm]Fall-2.1:|3x-1|<0[/mm]
Das ist nie erfüllt !!
Du meinst wohl 3x-1<0
Soviel zur "Struktur"
FRED
>
>
> Valerie
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Fr 14.09.2012 | | Autor: | Valerie20 |
Hi Fred,
> > Fallunterscheidungen.
> >
> > [mm]Fall-1: x>0[/mm]
> >
> > [mm]Fall-1.1: |3x-1|>0[/mm]
>
> Das ist für x [mm]\ne[/mm] 1/3 immer erfüllt !!!
>
> Du meinst wohl 3x-1>0
> >
> > [mm]Fall-2:x<0[/mm]
> >
> > [mm]Fall-2.1:|3x-1|<0[/mm]
>
> Das ist nie erfüllt !!
>
> Du meinst wohl 3x-1<0
Die Betragsstriche gehören da natürlich nicht hin. Habe diese heraus editiert.
Dankeschön.
Valerie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Fr 14.09.2012 | | Autor: | abakus |
> 2x * [mm]\bruch{|3x - 1 |}{2x}[/mm] > 2 / * 2x
Hallo,
ich mische mich an der Stelle noch einmal ein:
Dir ist seit deinem vorherigen Post ein Minuszeichen abhanden gekommen, und die Antworten der nachfolgenden Helfer beziehen sich wohl z.T. auf deine Variante mit dem fehlenden Minuszeichen.
Du warst vorhin mal bei
[mm]\red{-}\frac{|3x-1|}{2x}>2[/mm]
Mit etwas scharfem Hinsehen kann man bereits einige der eigentlich zu untersuchenden Fälle und Unter-Fälle ausschließen.
Die rechte Seite soll größer als 2 werden, ist also garantiert positiv.
Im linken Term steht |3x-1|, was als Betrag nicht negativ sein kann.
Davor steht ein Minuszeichen, also ist -|3x-1| negativ (oder 0).
Trotzdem soll [mm]\frac{-|3x-1|}{2x} [/mm] größer als 2 und damit positiv sein.
Der Bruch kann aber nicht positiv werden, wenn der negative Zähler durch einen positiven Nenner geteilt würde. Also kann der Nenner 2x nicht positiv sein, und der Fall x>0 kann von vorn herein AUSGESCHLOSSEN werden.
Damit gilt x<0, und die Multiplikation der Ungleichung mit 2x führt zu einer Umkehr des Relationszeichens:
-|3x-1|<4x.
Jetzt wird das Ganze noch einfacher: Da x nur noch negativ sein kann, ist 3x auch negativ und 3x-1 erst recht.
Also gibt es für die Auflösung des Betrages nur noch eine einzige zu betrachtende Möglichkeit (und nicht zwei Möglichkeiten wie sonst).
Gruß Abakus
>
> 2x kürzt sich raus daraus folgt
> |3x - 1 | > 4x
>
> Die zahl mit der ich multipliziert habe ist eine posetive
> Zahl daher lass ich dass Zeichen > so stehen
> Jetzt nehmen wir an dass dass x > 0 sei , was also heisst
> dass ich die Betragsstriche weglassen kann. Also muss ich
> schreiben
>
> Fall 1: x > 0
> |3x - 1 | > 4x
>
> 3x - 1 > 4x / + 1
>
> 3x > 4x + 1 / - 4x
> -1x < 1 Hier habe ich das Vorzeichen geändert da -4x
> eine negative Zahl ist oder muss es so heissen:
>
> 3x > 4x + 1 / - 4x
> -1x > 1 / * (-1)
> x < -1 Habe also erst hier als ich mit der negativen
> MULTIPLIZIERT habe das Zeichen gedreht
>
>
>
>
>
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Fr 14.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Lösungsmenge für x [mm]\in \IR[/mm] von 2 -
> [mm]\bruch{|3x - 1|}{2x}[/mm] > 4
> Hallo
> ich brauche eure Hilfe bei dieser Aufgabe.
>
> LEIDER bin ich bei dieser (!!!sehr einfach aussehende!!)
> Aufgabe total überfordert...
>
> Jetzt brauche ich mehrere die ganz viel Geduld mitbringen.
> So dass ich die Aufgabe mit euch GEMEINSAM SCHRITT FÜR
> SCHRITT lösen kann
>
> Wäre das möglich wenn wir schon mal mit dem 1. Schritt
> anfangen können? Sollte ich jetzt zuerst den Bruch
> auflösen, also die ganze Gleichung mit 2x multiplizieren..
> Oder was genau ist hier als erstes zu machen ?
>
>
> Vielen Dank für eure Hilfe !!!
2 - $ [mm] \bruch{|3x - 1|}{2x} [/mm] $ > 4 [mm] \gdw [/mm] $ [mm] -\bruch{|3x - 1|}{2x} [/mm] $ > 2 [mm] \gdw [/mm] $ [mm] \bruch{|3x - 1|}{2x} [/mm] $ <-2
Da der Zähler von $ [mm] \bruch{|3x - 1|}{2x} [/mm] $ immer [mm] \ge [/mm] 0 ist, sieht man, dass die Ungl. $ [mm] \bruch{|3x - 1|}{2x} [/mm] $ <-2 nur für x<0 erfüllt sein kann.
Sei also stehts x<0.
Multiplizieren wir mit 2x durch, so bekommen wir:
|3x-1|>-4x.
Nun unterscheiden wir 2 Fälle:
Fall 1: 3x-1 [mm] \ge [/mm] 0 (dann ist |3x-1|=3x-1). Denn Fall brauchen wir aber nicht weiter betrachten, denn 3x-1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] 1/3 und wir wissen schon , dass x nur Lösung der Ungl. sein kann, wenn x<0 ist.
Fall 2: 3x-1 < 0. Jetzt mach Du weiter.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Fr 14.09.2012 | | Autor: | betina |
Also:
2 - [mm] \bruch{|3x - 1|}{2x} [/mm] > 4 [mm] \gdw [/mm] - [mm] \bruch{|3x - 1|}{2x} [/mm] > 2 / * (-1) [mm] \gdw\bruch{|3x - 1|}{2x} [/mm] < - 2 um jetzt den Bruch wegzubekommen mit 2x multiplizieren |3x - 1| < - 4x
Fall 1 wäre (nur so zu veranschaulichung). Im Fall 1 nehmen wir an, dass der Term im Betrag [mm] \ge [/mm] 0 wäre würde heissen
|3x - 1| [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] 3x - 1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] 3x - 1 [mm] \ge [/mm] 0 /+1 [mm] \gdw [/mm] 3x [mm] \ge1 \gdw [/mm] x [mm] \ge\bruch{1}{3}
[/mm]
Fall 2 : Hier nehmen wir an, dass der Term im Betrag < 0 ist 3x-1<0
- (3x - 1 )<-4x
-3x + 1<-4x
x<-1
Wäre damit die Aufgabe fertig?
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Hallo betina,
> Also:
> 2 - [mm]\bruch{|3x - 1|}{2x}[/mm] > 4 [mm]\gdw[/mm] - [mm]\bruch{|3x - 1|}{2x}[/mm] > 2 / * (-1)
[mm]\gdw\bruch{|3x - 1|}{2x}[/mm] < - 2
da du mit etwas Negativem (hier -1) multipliziert hast, dreht sich das Ungleichheitszeichen um - richtig!
> um jetzt den
> Bruch wegzubekommen mit 2x multiplizieren |3x - 1| < - 4x
Das stimmt nicht; es wurde doch schon in einer Vorüberlegung gesagt, dass x (und damit auch 2x) negativ sein muss. Wenn du also mit 2x multiplizierst (also mit etwas Negativem), dann dreht sich das Ungleichheitszeichen nochmal um:
Also [mm]|3x-1| \ \red{>} \ -4x[/mm]
> Fall 1 wäre (nur so zu veranschaulichung). Im Fall 1
> nehmen wir an, dass der Term im Betrag [mm]\ge[/mm] 0 wäre würde
> heissen
> |3x - 1| [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] 3x - 1 [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] 3x - 1 [mm]\ge[/mm] 0 /+1 [mm]\gdw[/mm]
> 3x [mm]\ge1 \gdw[/mm] x [mm]\ge\bruch{1}{3}[/mm]
Genau! Aber x war gleichzeitig als negativ vorausgesetzt, kann also nicht glz. [mm]<0[/mm] und [mm]\ge 1/3[/mm] sein ...
Hier in diesem Fall gibt's also keine Lösung
>
> Fall 2 : Hier nehmen wir an, dass der Term im Betrag < 0
> ist 3x-1<0
Genau!
> - (3x - 1 )<-4x
Hier geht's daneben, siehe oben ...
> -3x + 1<-4x
> x<-1
Wenn du es korrigierst, wirst du auf [mm]x \ \red{>} \ -1[/mm] kommen.
Zusammen mit der Voraussetzung [mm]x<0[/mm] also
[mm]-1
>
> Wäre damit die Aufgabe fertig?
Wenn du es noch anpasst, dann ja!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Fr 14.09.2012 | | Autor: | betina |
Hut ab Leute!!! Die Aufgabe kam jetzt !!!!endlich!!!! bei mir an. Ich mach schließlich noch die Korrekturen.
Ich versuchs jetzt mal an einer anderen, fast gleichen Klausuraufgabe.
[mm] \bruch{|3x-2|}{4-x}
[/mm]
und schreibe euch meine Lösungen hin "nur für die bestätigung dass ich die ganze Aufgabe unfehlerhaft und komplett richtig gelöst habe" (..............)
Danke nochmal für eure Geduld
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