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Hallo,
Es geht um folgende Betragsungleichung:
[mm] |x+\bruch{x}{x}|>2
[/mm]
Meine Frage bezieht sich nur auf die unten stehende Umformung und für den Fall, dass x<0 ist.
1. Fall: x<0:
Dann gilt:
[mm] |x+\bruch{1}{x}|>2
[/mm]
[mm] \gdw -x-\bruch{1}{x}>2 [/mm] |*x (Hier dürfte ja alles klar sein?! Da x<0 betrachtet wird, wechseln in den Betragsstrichen die Vorzeichen)
[mm] \gdw -x^2-1 [/mm] < 2x
ist diese letzte Umformung jedoch korrekt? Das ">" wechselt seine Richtung, da ja mit x multipliziert wird, welches ja kleiner 0 ist, also negativ.
Der Hintergrund ist nämlich, dass [mm] |x+\bruch{x}{x}|>2 [/mm] gezeigt werden soll. Hinweis: Fallunterscheidung mit x<0 und x>0. Für x> 0 erhalte ich:
[mm] |x+\bruch{x}{x}|>2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ... [mm] \gdw (x-1)^2>0 [/mm] Alles klar.
2. Fall: x<0 erhalte ich mit obigem Weg:
[mm] |x+\bruch{x}{x}|>2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ... [mm] \gdw (x-1)^2>0 [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Do 14.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Es geht um folgende Betragsungleichung:
>
> [mm]|x+\bruch{x}{x}|>2[/mm]
Du meinst wohl [mm]|x+\bruch{1}{x}|>2[/mm]
>
> Meine Frage bezieht sich nur auf die unten stehende
> Umformung und für den Fall, dass x<0 ist.
>
>
> 1. Fall: x<0:
>
> Dann gilt:
>
> [mm]|x+\bruch{1}{x}|>2[/mm]
>
> [mm]\gdw -x-\bruch{1}{x}>2[/mm] |*x (Hier dürfte ja alles
> klar sein?! Da x<0 betrachtet wird, wechseln in den
> Betragsstrichen die Vorzeichen)
Ja
>
> [mm]\gdw -x^2-1[/mm] < 2x
>
>
> ist diese letzte Umformung jedoch korrekt? Das ">" wechselt
> seine Richtung, da ja mit x multipliziert wird, welches ja
> kleiner 0 ist, also negativ.
ja
>
>
> Der Hintergrund ist nämlich, dass [mm]|x+\bruch{x}{x}|>2[/mm]
> gezeigt werden soll.
$ [mm] |x+\bruch{1}{x}|>2 [/mm] $ ?????
> Hinweis: Fallunterscheidung mit x<0
> und x>0. Für x> 0 erhalte ich:
>
> [mm]|x+\bruch{x}{x}|>2[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] ... [mm]\gdw (x-1)^2>0[/mm] Alles klar.
??? Wir waren doch im Fall "x<0":
Und bekamen: $ [mm] |x+\bruch{1}{x}|>2 [/mm] $ [mm] \gdw -x^2-1<2x.
[/mm]
Das ist aber gleichbedeutend mit: [mm] x^2+2x+1>0 [/mm] oder [mm] (x+1)^2>0
[/mm]
Fazit: für x<0 gilt: $ [mm] |x+\bruch{1}{x}|>2 [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ne [/mm] -1.
>
>
> 2. Fall: x<0 erhalte ich mit obigem Weg:
Du meinst x>0 ?
>
> [mm]|x+\bruch{x}{x}|>2[/mm]
Auch hier:
$ [mm] |x+\bruch{1}{x}|>2 [/mm] $
>
> [mm]\gdw[/mm] ... [mm]\gdw (x-1)^2>0[/mm]
>
>
>
>
Ohne Fallunterscheidung:
$ [mm] |x+\bruch{1}{x}|>2 [/mm] $ [mm] \gdw (x+\bruch{1}{x})^2>4 \gdw x^2+2+\bruch{1}{x^2}>4 \gdw x^2-2+\bruch{1}{x^2}>0 \gdw (x-\bruch{1}{x})^2>0 \gdw [/mm] x [mm] \ne \pm [/mm] 1.
Edit:
Generalvor.: x [mm] \ne [/mm] 0
FRED
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Do 14.03.2013 | | Autor: | Peeter123 |
Hallo fred,
vielen dank für deine Antwort. Leider ist mir ein Missgeschick unterlaufen!
Ich wollte zuerst nur speziell auf meine Umformung der Betragsungleichung eingehen und danach, als ich den Beitrag bereits verfasst habe, habe ich doch entschieden, dass es besser ist auch die Hintergrundaufgabe mit aufzuschreiben. Du warst leider zu schnell ;)
Leider gibt es hier keine "Beitrag löschen" Funktion o.ä.
Ich habe das Thema bzw. die Aufgabe hier:
http://www.matheforum.net/read?i=954800
nochmal komplett und sauber aufgeschrieben. Dort sollte alles klar sein.
Ich wäre dir (oder auch anderen) wirklich dankbar, wenn du/ihr dort nochmal einen kurzen Blick drauf werfen könntet.
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| Aufgabe | Man zeige für alle x [mm] \in \IR, x\notin [/mm] {0, -1, 1}:
[mm] |x+\bruch{1}{x}|>2
[/mm]
Hinweis: Fallunterscheidung x>0 und x<0 |
Hallo,
Meine Lösung:
1. Fall: x>0, dann gilt:
[mm] |x+\bruch{1}{x}|>2
[/mm]
[mm] \gdw x+\bruch{1}{x}>2 [/mm] |*x
[mm] \gdw x^2+1>2x [/mm] |-2x
[mm] \gdw x^2-2x+1>0
[/mm]
[mm] \gdw (x-1)^2>0
[/mm]
Diese Aussageform ist wahr für alle x [mm] \in \IR, x\notin [/mm] {0, -1, 1}.
2. Fall: x<0, dann gilt:
[mm] |x+\bruch{1}{x}|>2
[/mm]
[mm] \gdw -x-\bruch{1}{x}>2 [/mm] |*x
[mm] \gdw -x^2-1<2x [/mm] |-2x
[mm] \gdw -x^2-2x-1<0 [/mm] |*(-1)
[mm] \gdw [/mm] x^+2x+1>0
[mm] \gdw (x+1)^2>0
[/mm]
Diese Aussageform ist wahr für alle x [mm] \in \IR, x\notin [/mm] {0, -1, 1}.
Das sieht zwar richtig aus, jedoch lautet die Musterlösung:
Für den 1. Fall x>0 gilt: [mm] (x-1)^2>0 [/mm] ist wahr. (Habe ich auch so)
Für den 2. Fall x<0: Den Fall führt man am einfachsten auf den eben gezeigten zurück, indem man ihn auf y=-x>0 anwendet. (Kein Tippfehler, da steht wirklich "y=-x>0", was auch immer das heißen soll?!)
Ist meine Lösung trozdem korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Do 14.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige für alle x [mm]\in \IR, x\notin[/mm] {0, -1, 1}:
>
> [mm]|x+\bruch{1}{x}|>2[/mm]
>
> Hinweis: Fallunterscheidung x>0 und x<0
> Hallo,
>
>
> Meine Lösung:
>
> 1. Fall: x>0, dann gilt:
>
> [mm]|x+\bruch{1}{x}|>2[/mm]
>
> [mm]\gdw x+\bruch{1}{x}>2[/mm] |*x
>
> [mm]\gdw x^2+1>2x[/mm] |-2x
>
> [mm]\gdw x^2-2x+1>0[/mm]
>
> [mm]\gdw (x-1)^2>0[/mm]
>
> Diese Aussageform ist wahr für alle x [mm]\in \IR, x\notin[/mm] {0,
> -1, 1}.
>
>
>
> 2. Fall: x<0, dann gilt:
>
> [mm]|x+\bruch{1}{x}|>2[/mm]
>
> [mm]\gdw -x-\bruch{1}{x}>2[/mm] |*x
>
> [mm]\gdw -x^2-1<2x[/mm] |-2x
>
> [mm]\gdw -x^2-2x-1<0[/mm] |*(-1)
>
> [mm]\gdw[/mm] x^+2x+1>0
>
> [mm]\gdw (x+1)^2>0[/mm]
>
> Diese Aussageform ist wahr für alle x [mm]\in \IR, x\notin[/mm] {0,
> -1, 1}.
>
>
> Das sieht zwar richtig aus, jedoch lautet die
> Musterlösung:
>
> Für den 1. Fall x>0 gilt: [mm](x-1)^2>0[/mm] ist wahr. (Habe ich
> auch so)
>
> Für den 2. Fall x<0: Den Fall führt man am einfachsten
> auf den eben gezeigten zurück, indem man ihn auf y=-x>0
> anwendet. (Kein Tippfehler, da steht wirklich "y=-x>0", was
> auch immer das heißen soll?!)
Wo ist das Problem ? Für x<0 ist y:=-x>0 und es gilt:
$ [mm] |x+\bruch{1}{x}|>2 [/mm] $ [mm] \gdw [/mm]
$ [mm] |y+\bruch{1}{y}|>2 [/mm] $ [mm] \gdw
[/mm]
$ [mm] y+\bruch{1}{y}>2 [/mm] $ [mm] \gdw [/mm]
[mm] (y-1)^2>0 \gdw
[/mm]
[mm] (x+1)^2 [/mm] >0
FRED
>
>
> Ist meine Lösung trozdem korrekt?
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Hallo Fred,
Danke, dass du nochmal drüberschaust!
Na gut, in der Lösung wird also substituiert.. Ist mein 2. Fall denn so auch korrekt als Nachweis?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Do 14.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> Danke, dass du nochmal drüberschaust!
>
> Na gut, in der Lösung wird also substituiert.. Ist mein 2.
> Fall denn so auch korrekt als Nachweis?
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Do 14.03.2013 | | Autor: | Peeter123 |
Alles klar, danke dir vielmals fürs doppelte drüberschauen!!! ;)
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