Betragsungleichung beweisen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 So 27.11.2011 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | | http://img27.imageshack.us/img27/9179/33bp.jpg |
Hallo,
Hier ist mein Lösungsansatz, wozu ich noch ein paar Fragen habe. Frage zu den Fällen stehen in Kursiv immer hintendran.
|x+(1/x)| > 2
Fall 1: x>0
x+(1/x) > 2
x²+1 > 2x
x²-2x+1 > 0
(x-1)² > 0 (Ist wahr)
Das müsste richtig umgeformt sein. Reicht die Zeile "(x-1)² > 0" aus? Dürfte ja klar sein, dass dort immer etwas positives rauskommt. Oder müsste ich noch beweisen, dass "(x-1)² > 0" wahr ist? Falls ja, wie mache ich das? Würde da noch irgendwas zu schreiben, dass etwas zum quadrat immer positiv ist.
Fall 2: x<0
-x-(1/x) > 2
-x²-1 > 2x
-x²-2x-1 > 0
x²+2x+1 < 0
(x+1)² < 0 (ist nicht wahr)
Da bei Betragsgleichungen ja entweder x<0 ODER x>0 gilt, ist es ja normal, dass eine Lösung falsch ist. Also wäre ab hier dann bei Fall 2 Schluss, da "(x+1)² < 0" ja falsch ist. Reicht das aus, oder müsste ich hier auch noch beweisen, dass "(x+1)² < 0" falsch ist?
Mal von der richtigen Formalen schreibweise von Beweisen (Vor. Beh. usw.) mal abgesehen, wäre dies hier soweit richtig? Falls ja, reicht das auch schon als Endlösung?
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Hallo Jack159,
> http://img27.imageshack.us/img27/9179/33bp.jpg
> Hallo,
> Hier ist mein Lösungsansatz, wozu ich noch ein paar
> Fragen habe. Frage zu den Fällen stehen in Kursiv immer
> hintendran.
>
> |x+(1/x)| > 2
>
> Fall 1: x>0
> x+(1/x) > 2
> x²+1 > 2x
> x²-2x+1 > 0
> (x-1)² > 0 (Ist wahr)
> Das müsste richtig umgeformt sein. Reicht die Zeile
> "(x-1)² > 0" aus? Dürfte ja klar sein, dass dort immer
> etwas positives rauskommt. Oder müsste ich noch beweisen,
> dass "(x-1)² > 0" wahr ist? Falls ja, wie mache ich das?
Für den Fall, daß [mm]x \in \IR[/mm] ist, ist das klar.
> Würde da noch irgendwas zu schreiben, dass etwas zum
> quadrat immer positiv ist.
Hier musst Du noch die Lösungsmenge angeben.
>
>
> Fall 2: x<0
> -x-(1/x) > 2
> -x²-1 > 2x
Hier muss doch stehen, da x <0:
[mm]-x^{2}-1 > \blue{-}2x[/mm]
> -x²-2x-1 > 0
> x²+2x+1 < 0
> (x+1)² < 0 (ist nicht wahr)
Zum Schluss hier: [mm]\left(x-1\right)^{2} < 0[/mm]
> Da bei Betragsgleichungen ja entweder x<0 ODER x>0 gilt,
> ist es ja normal, dass eine Lösung falsch ist. Also wäre
> ab hier dann bei Fall 2 Schluss, da "(x+1)² < 0" ja falsch
> ist. Reicht das aus, oder müsste ich hier auch noch
> beweisen, dass "(x+1)² < 0" falsch ist?
>
>
> Mal von der richtigen Formalen schreibweise von Beweisen
> (Vor. Beh. usw.) mal abgesehen, wäre dies hier soweit
> richtig? Falls ja, reicht das auch schon als Endlösung?
Die Lösungsmenge musst Du schon noch angeben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 So 27.11.2011 | | Autor: | Jack159 |
Hallo,
Lösung zu Fall 1:
[mm] \IL [/mm] = { x | x [mm] \in \IR [/mm] \ {-1, 0, 1} }
Bei Fall 2 hab ich mich vertan, da hast du recht, also hier nochmal die verbesserte Version:
Fall 2: x<0
-x-(1/x) > 2
-x²-1 < -2x (> umgedreht, da x<0)
-x²+2x-1 < 0
x²-2x+1 > 0
(x-1)² < 0 (Bleibt weiterhin nicht erfüllt, also falsch)
Wäre das soweit dann richtig?
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Hallo Jack159,
> Hallo,
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> Lösung zu Fall 1:
> [mm]\IL[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { x | x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ {-1, 0, 1} }
>
> Bei Fall 2 hab ich mich vertan, da hast du recht, also hier
> nochmal die verbesserte Version:
> Fall 2: x<0
> -x-(1/x) > 2
> -x²-1 < -2x (> umgedreht, da x<0)
> -x²+2x-1 < 0
> x²-2x+1 > 0
> (x-1)² < 0 (Bleibt weiterhin nicht erfüllt, also
> falsch)
>
Hier verdrehst Du das Relationszeichen:
[mm]\left(x-1\right)^{2} \blue{>}0[/mm]
> Wäre das soweit dann richtig?
>
Gruss
MathePower
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