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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:56 Sa 25.04.2015 | | Autor: | forestdumb |
| Aufgabe | Beweisen sie folgenden Aussagen für alle $x,y [mm] \in \IR:$
[/mm]
$a) (|x|+|y|)(|x|-|y|) [mm] \le |x^2-y^2|$
[/mm]
$b)|x+||y-x||| [mm] \le [/mm] 2|x|+|y|$
$c) |x|+|y| [mm] \le [/mm] |x+y|+|x-y|$ |
$a)$
$(|x|+|y|)(|x|-|y|)= [mm] |x|^2 -|x||y|+|y||x|-|y|^2= |x|^2-|y|^2= |x^2|-|y^2| \le |x^2 [/mm] - [mm] y^2|$ [/mm]
$b)|x+||y-x||| = |x+||x-y||| [mm] \leq [/mm] |x|+||x-y|| [mm] \leq [/mm] |x|+||x|-|y|| [mm] \leq [/mm] |x|+|x-y|$
jetzt komme ich irgendwie nicht zu $2|x|+|y|$
$ c) |x|+|y| [mm] \le [/mm] $
bei der c hab ich auch keine ahnung :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Sa 25.04.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo forrestdumb,
b) [mm] $...\le|x|+|x-y|\le|x|+|x|+|y|=2|x|+|y|$.
[/mm]
Zu c) gebe ich dir erst mal ein paar Tipps. Vielleicht hilft es dir ja bereits.
Z.B. kann man sinnvoll eine Null addieren.
Manchmal hilft es auch die Abschätzung andersherum zu betrachten oder du führst einfach durch Äquivalenzumformung den Ausdruck zu einer leicht einsehbaren Aussage, was aber wahrscheinlich nicht die Intention des Aufgabenstelllers ist, da hier offensichtlich Abschätzen geübt werden soll.
EDIT: Vielleicht führe ich mal aus, was ich unter einem Beweis mit Äquivalenzumformung verstehe (vgl. Beweis in ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia). Es ist
[mm] $|x|+|y|\le|x+y|+|x-y|\le|x|+|y|+|x-y|$ $\gdw$ $0\le|x-y|$,
[/mm]
was aufgrund der Definition des Betrags richtig ist.
Du solltest dennoch zur Übung einen Beweis über Abschätzung versuchen.
EDIT2: OK. Mein erster EDIT war wohl unbedacht. Jetzt schreibe ich dir noch mal im ausgeschlafenen Zustand. 
Neben der Abschätzung, die Marcel bereits erwähnt hat und die mir zuerst in den Sinn kam, als ich oben den Hinweis gab, sinnvoll eine Null zu addieren, fällt mir folgende Abschätzung mit der Dreiecksungleichung ein, auf die ich mit dem Hinweis die Abschätzung andersherum zu betrachten angespielt habe:
Betrachten wir zunächst den Fall [mm] $|x|\ge [/mm] |y|$. Dann ist
[mm] $|x+y|+|x-y|\ge|x+y+x-y|=|2x|=2|x|=|x|+|x|\ge|x|+|y|$
[/mm]
Ist [mm] $|y|\ge [/mm] |x|$, dann bekommen wir analog:
[mm] $|x+y|+|x-y|=|x+y|+|y-x|\ge|x+y+y-x|=|2y|=|y|+|y|\ge|x|+|y|$.
[/mm]
MfG
Ladon
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ich bekomm die c irgendwie durch abschätzung nicht. mein gehirn sieht die rechenschritte nicht,vielleicht weil ich ne grippe habe ,aber ka
$ c) |x|+|y| = |x|+|z|-|z|+|y| [mm] \leq ||x|+|z||-||z|+|y||\leq [/mm] |x+z|-|z+y|.$
geht das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 So 26.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich bekomm die c irgendwie durch abschätzung nicht. mein
> gehirn sieht die rechenschritte nicht,vielleicht weil ich
> ne grippe habe ,aber ka
>
> [mm]c) |x|+|y| = |x|+|z|-|z|+|y| \leq ||x|+|z||-||z|+|y||\leq |x+z|-|z+y|.[/mm]
>
> geht das so?
wenn Du jeden Schritt erklären könntest (was sicher nicht der Fall sein
wird), wäre das gut.
Aufgabe:
$|x|+|y| [mm] \le [/mm] |x+y|+|x-y| $
Wo steht denn da schon ein z?
Zur Aufgabe: Zunächst gilt
(I) $|x|=|2x|/2=|(x+y)+(x-y)|/2 [mm] \le \frac{|x+y|}{2}+\frac{|x-y|}{2}\,.$
[/mm]
Schreibe nun eine Ungleichung (II) hin, indem Du die Rollen von x und y gegeneinander
vertauschst.
Addiere dann (I)+(II), genauer gesagt benutze $a [mm] \le [/mm] b$ und $c [mm] \le [/mm] d$ liefert $a+c [mm] \le [/mm] b+d$ (folgt mit
Monotonie- und Transitivitätsgesetzen)
$|x|+|y| [mm] \le \frac{1}{2}|x+y|+\frac{1}{2}|x-y|+\frac{1}{2}|y+x|+\frac{1}{2}|y-x|=\ldots$
[/mm]
Der Rest ist nur sowas wie [mm] $|a+b|=|b+a|\,,$ [/mm] was auch [mm] $|a-b|=|b-a|\,$ [/mm] impliziert...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 01:06 So 26.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo forrestdumb,
>
> b) [mm]...\le|x|+|x-y|\le|x|+|x|+|y|=2|x|+|y|[/mm].
> Zu c) gebe ich dir erst mal ein paar Tipps. Vielleicht
> hilft es dir ja bereits.
> Z.B. kann man sinnvoll eine Null addieren.
> Manchmal hilft es auch die Abschätzung andersherum zu
> betrachten oder du führst einfach durch
> Äquivalenzumformung den Ausdruck zu einer leicht
> einsehbaren Aussage, was aber wahrscheinlich nicht die
> Intention des Aufgabenstelllers ist, da hier offensichtlich
> Abschätzen geübt werden soll.
> EDIT: Vielleicht führe ich mal aus, was ich unter einem
> Beweis mit Äquivalenzumformung verstehe (vgl. Beweis in
> Wikipedia).
> Es ist
> [mm]|x|+|y|\le|x+y|+|x-y|\le|x|+|y|+|x-y|[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]0\le|x-y|[/mm],
hier ist doch absolut unklar, wie Du auf das letzte [mm] $\gdw$ [/mm] $0 [mm] \le [/mm] |x-y|$ kommst. Mir
jedenfalls - denn Du müßtest dann ja mit $0 [mm] \le [/mm] |x-y|$ eben insbesondere
$|x|+|y| [mm] \le |x+y|+|x-y|\,$
[/mm]
folgern. Wie machst Du das?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Mo 27.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo forrestdumb,
>
> b) [mm]...\le|x|+|x-y|\le|x|+|x|+|y|=2|x|+|y|[/mm].
> Zu c) gebe ich dir erst mal ein paar Tipps. Vielleicht
> hilft es dir ja bereits.
> Z.B. kann man sinnvoll eine Null addieren.
> Manchmal hilft es auch die Abschätzung andersherum zu
> betrachten oder du führst einfach durch
> Äquivalenzumformung den Ausdruck zu einer leicht
> einsehbaren Aussage, was aber wahrscheinlich nicht die
> Intention des Aufgabenstelllers ist, da hier offensichtlich
> Abschätzen geübt werden soll.
> EDIT: Vielleicht führe ich mal aus, was ich unter einem
> Beweis mit Äquivalenzumformung verstehe (vgl. Beweis in
> Wikipedia).
> Es ist
> [mm]|x|+|y|\le|x+y|+|x-y|\le|x|+|y|+|x-y|[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]0\le|x-y|[/mm],
> was aufgrund der Definition des Betrags richtig ist.
> Du solltest dennoch zur Übung einen Beweis über
> Abschätzung versuchen.
> EDIT2: OK. Mein erster EDIT war wohl unbedacht. Jetzt
> schreibe ich dir noch mal im ausgeschlafenen Zustand.
> Neben der Abschätzung, die Marcel bereits erwähnt hat
> und die mir zuerst in den Sinn kam, als ich oben den
> Hinweis gab, sinnvoll eine Null zu addieren, fällt mir
> folgende Abschätzung mit der Dreiecksungleichung ein, auf
> die ich mit dem Hinweis die Abschätzung andersherum zu
> betrachten angespielt habe:
> Betrachten wir zunächst den Fall [mm]|x|\ge |y|[/mm]. Dann ist
> [mm]|x+y|+|x-y|\ge|x+y+x-y|=|2x|=2|x|=|x|+|x|\ge|x|+|y|[/mm]
> Ist [mm]|y|\ge |x|[/mm], dann bekommen wir analog:
>
> [mm]|x+y|+|x-y|=|x+y|+|y-x|\ge|x+y+y-x|=|2y|=|y|+|y|\ge|x|+|y|[/mm].
damit bin ich einverstanden - wobei Du auch direkt o.E. $|x| [mm] \ge [/mm] |y|$ annehmen
könntest (andernfalls vertausche man $x [mm] \longleftrightarrow [/mm] y$) - oder sagen könntest:
Im Falle [mm] $|y|\ge [/mm] |x|$ ergibt sich analog durch Rollentausch von [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] ...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Di 28.04.2015 | | Autor: | Ladon |
Du kannst ja mal Version 3 ansehen. Da habe ich o.E. [mm] |x|\ge|y| [/mm] angenommen. Für ein besseres Verständnis der Lösung habe ich mich jedoch umentschieden und konkret die analoge Version im Beweis ausgeführt.
Danke für das Korrektur lesen.
Viele Grüße
Ladon
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