Betragsungleichungen mit Bruch < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Mi 19.08.2015 | | Autor: | Alex1592 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle [mm] x\in [/mm] R, die die Gleichung [mm] \bruch{|2x-3|}{2-x}\le [/mm] 1 erfüllen. |
Hallo ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe, ich hoffe jemand könnte mir einen Tipp geben oder meinen Fehler finden.
Ich habe schon viel Ungleichungen gelöst, jedoch noch keine mit Bruch und ich weiß einfach nicht wie ich auf das Ergebnis x>2 oder [mm] -1\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 kommen soll.
Meine ergebnis ist [mm] 1\le [/mm] x <2 oder [mm] x\le [/mm] -1
Ich habe 4 Fälle. [mm] x\ge \bruch{1}{2}; [/mm] x< [mm] \bruch{1}{2}; [/mm] x [mm] \ge [/mm] 2; x<2
1. 2x-1 [mm] \le [/mm] 2-x für x [mm] \ge [/mm] 2, x [mm] \ge \bruch{1}{2}
[/mm]
2. 2x-1 [mm] \ge [/mm] 2-x für x < 2, x [mm] \ge \bruch{1}{2}
[/mm]
3.-2x+1 [mm] \le [/mm] 2-x für x [mm] \ge [/mm] 2, x < [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
4.-2x+1 [mm] \ge [/mm] 2-x für x < 2, x < [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Der 3.Fall fällt raus.
Ich stelle anschließend die restlichen Fälle nach x um und habe dann raus.
1. 3x [mm] \le [/mm] 3 für x [mm] \ge [/mm] 2
2. 3x [mm] \ge [/mm] 3 für [mm] \bruch{1}{2} \le [/mm] x < 2
4. -x [mm] \ge [/mm] 1 für [mm] x\le \bruch{1}{2}
[/mm]
Der 1 Fall fällt auch raus,also bleibt am Ende nur Fall 2 und 4.
Also lautet mein Ergebnis [mm] 1\le [/mm] x <2 oder [mm] x\le [/mm] -1, was jedoch falsch ist. Richtiges Ergebnis x>2 oder [mm] -1\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Mi 19.08.2015 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie alle [mm]x\in[/mm] R, die die Gleichung
> [mm]\bruch{|2x-3|}{2-x}\le[/mm] 1 erfüllen.
> Hallo ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe, ich hoffe
> jemand könnte mir einen Tipp geben oder meinen Fehler
> finden.
> Ich habe schon viel Ungleichungen gelöst, jedoch noch
> keine mit Bruch und ich weiß einfach nicht wie ich auf das
> Ergebnis x>2 oder [mm]-1\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 kommen soll.
>
> Meine ergebnis ist [mm]1\le[/mm] x <2 oder [mm]x\le[/mm] -1
>
> Ich habe 4 Fälle. [mm]x\ge \bruch{1}{2};[/mm] x< [mm]\bruch{1}{2};[/mm] x
> [mm]\ge[/mm] 2; x<2
>
> 1. 2x-1 [mm]\le[/mm] 2-x für x [mm]\ge[/mm] 2, x [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm]
> 2. 2x-1
> [mm]\ge[/mm] 2-x für x < 2, x [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm]
> 3.-2x+1 [mm]\le[/mm] 2-x
> für x [mm]\ge[/mm] 2, x < [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> 4.-2x+1 [mm]\ge[/mm] 2-x für x < 2, x < [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Der 3.Fall fällt raus.
>
> Ich stelle anschließend die restlichen Fälle nach x um
> und habe dann raus.
>
> 1. 3x [mm]\le[/mm] 3 für x [mm]\ge[/mm] 2
> 2. 3x [mm]\ge[/mm] 3 für [mm]\bruch{1}{2} \le[/mm] x < 2
> 4. -x [mm]\ge[/mm] 1 für [mm]x\le \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Der 1 Fall fällt auch raus,also bleibt am Ende nur Fall 2
> und 4.
>
> Also lautet mein Ergebnis [mm]1\le[/mm] x <2 oder [mm]x\le[/mm] -1, was
> jedoch falsch ist. Richtiges Ergebnis x>2 oder [mm]-1\le[/mm] x [mm]\le[/mm]
> 1.
>
Hallo,
der Term auf der linken Seite liefert ABSOLUT KEINEN GRUND, irgendetwas zu unterscheiden zwischen x>0,5 und x<0,5.
Ebenso nutzlos ist eine Einbeziehung der Möglichkeit x=2 (in Form von [mm] $x\ge [/mm] 2), weil x nicht 2 sein darf.
Kritisch wird es doch noch an der Stelle, wo 2x-3 zwischen positiven und negativen Werten wechselt, nämlich bei x=1,5.
Tatsächlich zu unterscheiden sind also die Fälle
[mm] $x\le [/mm] 1,5$, $1,5<x<2$ und $x>2$.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Mi 19.08.2015 | | Autor: | Alex1592 |
Danke für die Antwort , ich habe einen fehler in der Aufgabenstellung gemacht ( Entschuldigung ) es sollte 2x-1 heißen und nicht 2x-3, dann ist meine annahme mit der 0,5 ja nicht falsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mi 19.08.2015 | | Autor: | Alex1592 |
Ich habe es jetzt wie von abakus vorgegeben gerechnet nur mit 0,5 statt 1,5, jedoch komme ich immer noch nicht auf das Ergebnis... könnte jemand evtl mir diese Aufgabe vorrechnen oder die richtige Vorgehensweis erklären??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:51 Do 20.08.2015 | | Autor: | meili |
Hallo Alex,
> Ich habe es jetzt wie von abakus vorgegeben gerechnet nur
> mit 0,5 statt 1,5, jedoch komme ich immer noch nicht auf
> das Ergebnis... könnte jemand evtl mir diese Aufgabe
> vorrechnen oder die richtige Vorgehensweis erklären??
Wegen dem Betrag im Zähler muss man die Fälle $x [mm] \ge [/mm] 0,5$
und $x<0,5$ betrachten.
Da es eine Ungleichung ist, muss man auch berücksichtigen, ob der Nenner
größer oder kleiner Null ist, was $x<2$ und $x>2$ entspricht.
Leider ist dir dann bei deiner Rechnung der Fehler unterlaufen, dass du
für $(2 - x > 0) [mm] \gdw [/mm] (x < 2)$ das Ungleichungszeichen [mm] $\le$ [/mm] umgedreht hast,
und nicht für $x>2$.
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Do 20.08.2015 | | Autor: | Alex1592 |
Danke für die vielen Antworten, waren sehr hilfreich. Habe meine Aufgabe jetzt gelöst und endlich verstanden wie ich richtig vorgehen muss ... Danke =)
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> Danke für die Antwort , ich habe einen fehler in der
> Aufgabenstellung gemacht ( Entschuldigung ) es sollte 2x-1
> heißen und nicht 2x-3, dann ist meine annahme mit der 0,5
> ja nicht falsch
Hallo Alex,
ich würde dir empfehlen, den Fehler in der Aufgabenstellung
auch jetzt, nachträglich, noch zu korrigieren. Man kann
eigene Beiträge auch später modifizieren !
Ich war ziemlich irritiert, hier lauter Lösungen zu finden,
die gar nicht zur gestellten Aufgabe passen.
LG , Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Do 20.08.2015 | | Autor: | fred97 |
Es geht also um die Ungl.
(*) $ [mm] \bruch{|2x-1|}{2-x}\le [/mm] 1$.
Manchmal ist es nützlich zu wissen:
die Ungl. [mm] $|a|\le [/mm] b$ ist gleichbedeutend mit $-b [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b.$
1. Ist x>2, so ist die rechte Seite in (*) negativ, also insbes. [mm] \le [/mm] 1. D.h.:
(*) gilt für alle x>2.
2. Ist x<2, so ist (*) gleichbedeutend mit
$|2x-1| [mm] \le [/mm] 2-x$.
Dies ist gleichbedeutend mit
(**) $-(2-x) [mm] \le [/mm] 2x-1 [mm] \le [/mm] 2-x.$
Die linke Ungl. in (**) bedeutet nichts anderes als $x [mm] \ge [/mm] -1$ und die rechte Ungl. bedeutet gerade $x [mm] \le [/mm] 1.$
FRED
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Hier noch ein Lösungsansatz. Er basiert auf dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen in folgender Fassung:
Hat eine stetige Funktion [mm]f[/mm] in einem Intervall [mm]I[/mm] keine Nullstellen, so gilt entweder [mm]f(x)>0[/mm] für alle [mm]x \in I[/mm] oder [mm]f(x)<0[/mm] für alle [mm]x \in I[/mm].
Jetzt zur konkreten Aufgabe. Wir definieren die Funktion [mm]f[/mm] durch
[mm]f(x) = 1 - \frac{\left| 2x-1 \right|}{2-x} \, , \ \ x \in D = \mathbb{R} \setminus \{ 2 \}[/mm]
Die zu lösende Ungleichung ist mit [mm]f(x) \geq 0[/mm] äquivalent. Um den obigen Satz anwenden zu können, bestimmen wir die größtmöglichen Teilintervalle von [mm]D[/mm], in denen [mm]f[/mm] nullstellenfrei ist. Dazu ermitteln wir die Nullstellen von [mm]f[/mm]. Wenn man den Betrag auflöst, gibt es zwei Möglichkeiten für das Vorzeichen. Bei diesem Lösungsansatz kümmern wir uns zunächst nicht darum, für welche [mm]x[/mm] das jeweilige Vorzeichen zutrifft. Wir gehen einfach beide Vorzeichen durch und bekommen so die einzig möglichen Kandidaten für Nullstellen.
1. Möglichkeit: [mm]|\ldots| = +(\ldots)[/mm]
[mm]1 - \frac{2x-1}{2-x} = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ 2-x - (2x-1) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x = 1[/mm]
2. Möglichkeit: [mm]|\ldots| = -(\ldots)[/mm]
[mm]1 - \frac{-(2x-1)}{2-x} = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ 2-x + 2x-1 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x = -1[/mm]
Es ist jetzt nicht klar, ob 1 und -1 tatsächlich Nullstellen sind. Aber klar ist, daß keine andere Zahl Nullstelle sein kann. Wir müssen also nur noch die Probe machen. Sie zeigt: [mm]f(1) = 0[/mm] und [mm]f(-1) = 0[/mm].
Und damit kennen wir die Nullstellen von [mm]f[/mm]. Jetzt zerlegen wir den Definitionsbereich:
[mm]D = I_1 \cup \{ - 1 \} \cup I_2 \cup \{ 1 \} \cup I_3 \cup I_4 \ \ \text{mit} \ \ I_1 = \left( - \infty,-1 \right) \, , \ I_2 = \left( -1,1 \right) \, , \ I_3 = \left( 1,2 \right) \, , \ I_4 = \left( 2, \infty \right)[/mm]
Und auf jedes der offenen Intervalle [mm]I_1,I_2,I_3,I_4[/mm] wenden wir den Zwischenwertsatz, wie oben angegeben, an. Als Beispiel nehme ich einmal [mm]I_1[/mm]. Darin wählen wir irgendeine Zahl, zum Beispiel -2. Wir rechnen [mm]f(-2) = -\frac{1}{4} < 0[/mm]. Also folgt: [mm]f(x)<0[/mm] für alle [mm]x \in I_1[/mm].
Und so geht das auch mit den anderen Intervallen.
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