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| Aufgabe | | Ein betrunkener Mann geht mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 zwei Meter vorwärts und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 einen Meter rückwärts. Nach wie vielen Schritten wird er mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % um 10 km vorwärts gegangen sein? |
Hallo erstmal an alle, die das hier lesen^^
Ich habe bei dieser Aufgabe keine Idee wie ich ansetzen soll, da ich die Kombination von den Treffern und den zurückgelegten Metern nicht verstehe bzw. nicht auf eine Formel oder das Urnenmodell übertragen kann.
Deshalb fehlen leider auch eigene Lösungsideen...
Es wäre toll hierzu einen Tip oder einen ersten Lösungsansatz zu bekommen.
Vielen Dank in Vorraus für euer Bemühen :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Do 25.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Juliane,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du kannst mit deiner geliebten Urnen wie folgt arbeiten. Stell dir vor, der Bursche hat eine Urne mit 10 Kugeln dabei, wovon 6 die Zahl $+1$ und 4 die Zahl $-1$ aufweisen. Er zieht aus der Urne mit Zuruecklegen Kugeln. Weist eine Kugel die Zahl $+1$ auf, so geht er einen Meter nach vorn, anderenfalls einen Meter zurueck.
Hilft dir das?
vg Luis
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Do 25.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Sorry, aber ich glaube das wird eher nicht hilfreich sein, denn hast du bedacht, dass der Mann mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 2!!! Meter nach vorne geht und nicht einen , jedoch aber nur einen Meter zurückgeht mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4...?
Es müsste meiner Meinung nach irgendwie mit einer summierten Bernoullikette zu tun haben, wobei n= Anzahl der Schritte gesucht ist.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Do 25.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ms2008de!
> denn hast du bedacht, dass der Mann mit einer
> Wahrscheinlichkeit von 0,6 2!!! Meter nach vorne geht und
> nicht einen , jedoch aber nur einen Meter zurückgeht mit
> einer Wahrscheinlichkeit von 0,4...?
Das mag sein. Aber das prinzipielle Vorgehen bzw. das beschriebene Urnenmodell ändert sich dadurch nicht.
> Es müsste meiner Meinung nach irgendwie mit einer
> summierten Bernoullikette zu tun haben, wobei n= Anzahl der
> Schritte gesucht ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sehe ich auch so.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Do 25.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Ok, was dich eigentlich interessiert ist doch folgende Zufallsgröße: [mm] X_n: [/mm] "Anzahl der Schritte, die der Betrunkene nach insgesamt n Schritten vorwärts gegangen ist". Du willst wissen, für welches n ist [mm]P(X_n\ge 5000)\ge 0,9[/mm]. Jetzt gilt doch glaube ich [mm] $$P(X_n=k)=\vektor{n\\k}p^k(1-p)^{n-k}$$ [/mm] wobei p=0,6 die Wahrscheinlichkeit ist, vorwärts zu gehen. Also ist [mm] $$P(X_n\ge 5000)=\sum_{k=5000}^n\vektor{n\\k}p^k(1-p)^{n-k}$$ [/mm] Jetzt weiß ich aber auch nichtt mehr weiter... wahrscheinlich kann man das nur näherungsweise ausrechnen.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Do 25.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Also nochmal sorry, aber [mm] $$P(X_n\ge 5000)=\sum_{k=5000}^n\vektor{n\\k}p^k(1-p)^{n-k}$$ [/mm] kann nicht stimmen. Denn angenommen, n wäre gleich 10000. Dann würde der Mann bei 10000 Schritten mit einer Wahrscheinlichkeit von größer gleich 0,9 10km gelaufen sein. Aber warum summierst du ab 5000 auf? Wenn der Mann hier 5000 Schritte nach vorn läuft, so läuft er auch 5000 Schritte zurück und somit nur 5000m statt 10000, das wäre also kein günstiges Ereignis. Man müsste also in dem Fall, dass 10000 die Lösung wäre ab 6667 aufsummieren bis 10000. Denn 6667*2-3333=10001, ist die erste Zahl bei der für 10000 Schritte ein günstiges Ereignis heraus kommt
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Do 25.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Hey, stimmt. Also Wenn der Mann von n Schritten genau k vorwärts macht, dann hat er [mm]2k-(n-k)=3k-n[/mm] Meter zurückgelegt, und das soll größer als 10000 werden, was genau dann der Fall ist, wenn [mm]k\ge (10000+n)/3[/mm] ist. Also musst du Lösen [mm] $$P(X_n\ge (10000+n)/3)\ge [/mm] 0,9$$ Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Do 25.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Nach der Korrektur von Juliane, dass es 2 Schritte vorwärts sind, korrigier ich nun schnell den Text von eben: Also Wenn der Mann von n Schritten genau 2k vorwärts macht, dann hat er [mm]2k-(n-2k)=4k-n[/mm] Meter zurückgelegt, und das soll größer als 10000 werden, was genau dann der Fall ist, wenn [mm]k\ge (10000+n)/4[/mm] ist. Also musst du Lösen [mm] $$P(X_n\ge (10000+n)/4)\ge [/mm] 0,9$$, wobei k die kleinstmögliche natürliche Zahl sein sollte für die es gilt, also falls das kleinstmögliche n nicht durch 4 teilbar sein sollte, müssen wir (10000+n)/4) aufrunden.
Viele Grüße
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Das leuchtet mir ein aber
wie genau berechnet man denn eine Binomialverteilung, wenn k abhängig von n ist. Ich wüsste jetzt gar nicht wie ich [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] bestimmen soll, das brauche ich ja für die Bernoulli Formel... Oder stehe ich da etwas auf dem Schlauch?
Beste Grüße, Juliane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Fr 26.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Das siehst du völlig richtig, wenn ich die Aufgabe lösen müsste, würde ich nur mit nemguten Programm und durch ausprobieren darauf kommen...
Also diese Aufgabe ist für Schulmathematik wirklich schon sehr schwer finde ich.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Fr 26.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Hallo Juliane,
hast du mich nicht lieb? 
Warum ignorierst du denn meinen Vorschlag?
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Sa 27.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Also ich würde mal behaupten, dass du diese Ungleichung die wir oben gemeinsam entwickelt haben, nur näherungsweise mit nem Computer ausrechnen können wirst. Ich habe mit Mathematica als Lösung 7294 Schritte ausgerechnet... vielleicht kann das jemand bestätigen?
Zur näherungsweisen Bestimmung muss man vielleicht irgendwie zu einer Normalverteilung übergehen?
Gruß, Robert
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:42 Do 25.06.2009 | | Autor: | Juliane_R. |
Erst einmal danke für die Antwort und die nette Begrüßung :)
Ja, also jetzt verstehe ich, dass bei jedem Schritt neu entschieden wird. Aber wie genau kommt man jetzt auf die Anzahl n? Das ist jetzt eine spontane Idee aber könnte es helfen erst einmal die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, um mit über 90 %iger Wahrsch. 2 Schritte nach vorn zu gehen? Oder bin ich da völlig auf dem Holzweg? Ich habe keinen richtigen Draht zu solchen Aufgaben...
Der erste Fall ist übrigens mit p=0,6 ZWEI Schritte nach vorn zu gehen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Do 25.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Gut, das mit den zwei Metern war ein bedauerliches Versehen, hick.
Betrachte die Zufallsvariable [mm] $X_i$ [/mm] mit [mm] $(X_i=0)\iff$ [/mm] B. geht nach hinten
und [mm] $(X_i=1)\iff$ [/mm] B. geht nach vorn. Die Zufallsvariable [mm] $3X_i-1$
[/mm]
beschreibt dann, wieviel Meter B. im $i_$-ten Versuch zuruecklegt. Seine
Position nach $n_$ Schritten ist dann [mm] $S_n=3\sum_{i=1}^nX_i-n$. [/mm] Das
Schoene daran: [mm] $\sum_{i=1}^nX_i$ [/mm] ist binomialverteilt mit $n_$ und $p=0.6_$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Sa 27.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Ist das nicht das gleiche wie das, was wir oben gemacht haben?
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Sa 27.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> Ist das nicht das gleiche wie das, was wir oben gemacht
> haben?
Mag sein, und warum loest ihr die Aufgabe nicht?
Alles muss man selber machen, grummel.
Mit [mm] $Y_n=\sum_{i=1}^nX_i$ [/mm] und $K=10000_$ ist $n_$ gesucht mit
[mm] \begin{matrix}
0.9&\le& P(S_n\ge K) \\
&=&P(3Y_n-n\ge K) \\
&=&P\left(Y_n\ge \dfrac{K+n}{3}\right) \\
&\approx&1-\Phi\left(\dfrac{(K+n)/3-n\cdot0.6}{\sqrt{n\cdot0.6\cdot0.4}}\right)\,,
\end{matrix}
[/mm]
also
[mm] $$\Phi\left(\dfrac{(K+n)/3-n\cdot0.6}{\sqrt{n\cdot0.6\cdot0.4}}\right)\le 0.1\,.$$
[/mm]
Mithin ist die Gleichung
[mm] $$\dfrac{(K+n)/3-n\cdot0.6}{\sqrt{n\cdot0.6 \cdot0.4}}=z_{0.1}=-1.2816$$
[/mm]
zu loesen. Man erhaelt $n=12766$ (Fast Ralphs Loesung).
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Fr 26.06.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Angenommen, der Betrunkene macht 10 Schritte. Dann würde er im Durchschnitt 6*2 Meter nach vorn gehen und 4*1 Meter nach hinten. Zu 50% käme er mit 10 Schritten also 8 Meter weiter. Beziehungsweise mit 12500 Schritten käme er 10 km nach vorn. (Allerdings nur mit 50%iger Wahrscheinlichkeit - statt mit 90%iger).
Für eine 90%ige Wahrscheinlichkeit benötigt der Betrunkene also mehr als 12500 Schritte - soviel vorweg.
P.S.
Wie groß issen die Wahrscheinlichkeit: 4*2 Meter nach vorn und 6*1 Meter nach hinten? Also ein Gesamt-nach-vorn von 2 Metern. So was lässt sich doch bestimmt errechnen. Irgendwie nähert man sich dann auch der 90%-Marke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Sa 27.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Angenommen, der Betrunkene macht 10 Schritte. Dann würde er
> im Durchschnitt 6*2 Meter nach vorn gehen und 4*1 Meter
> nach hinten. Zu 50% käme er mit 10 Schritten also 8 Meter
> weiter.
Das stimmt nicht. Die Wahrscheinlichkeit in 10 Schritten 6 mal vorwärts und 4 mal rückwärts zu gehen beträgt [mm] $$\vektor{10\\6}0,6^60,4^4=0,250823$$
[/mm]
> Beziehungsweise mit 12500 Schritten käme er 10 km
> nach vorn. (Allerdings nur mit 50%iger Wahrscheinlichkeit -
> statt mit 90%iger).
> Für eine 90%ige Wahrscheinlichkeit benötigt der Betrunkene
> also mehr als 12500 Schritte - soviel vorweg.
Dieser Schluss auch nicht korrekt: Die Wahrscheinlichkeit mit einer fairen Münze in 4 Versuchen 2-mal Kopf zu werfen (0,375) ist eben nicht das gleiche wie in 2 würfen 1-mal kopf zu bekommen (0,5).
>
> P.S.
> Wie groß issen die Wahrscheinlichkeit: 4*2 Meter nach vorn
> und 6*1 Meter nach hinten? Also ein Gesamt-nach-vorn von 2
> Metern. So was lässt sich doch bestimmt errechnen.
[mm] $\vektor(10\\4)(0,6)^4(0,4)^6=0,111477$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Sa 27.06.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Die Wahrscheinlichkeit in 10 Schritten 6 mal
> vorwärts und 4 mal rückwärts zu gehen beträgt
> [mm]\vektor{10\\6}0,6^60,4^4=0,250823[/mm]
Das ist aber nur die Wahrscheinlichkeit, genau 8 Meter vorwärts zu gehen. Wenn er mehr als 8 Meter schafft, dann hat er sein Ziel jedoch auch erreicht. Und so meinte ich es, dass er mit 50%iger Wahrscheinlichkeit in 10 Schritten auf bzw. über die 8 Meter kommt.
> Für eine 90%ige Wahrscheinlichkeit benötigt der Betrunkene
> also mehr als 12500 Schritte - soviel vorweg.
Wenn es sichererer (d.h. wahrscheinlicher = 90%) werden soll, dieses Ziel zu erreichen, dann hießt das: er muss mehr Schritte gehen.
Wenn der Typ eine Million Schritte macht, dann ist er so gut wie 100%ig über der Zehn-Kilometer-Marke, weil er - rein statistisch - mit jedem Schritt eher nach vorne als nach hinten geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Sa 27.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> > Die Wahrscheinlichkeit in 10 Schritten 6 mal
> > vorwärts und 4 mal rückwärts zu gehen beträgt
> > [mm]\vektor{10\\6}0,6^60,4^4=0,250823[/mm]
>
> Das ist aber nur die Wahrscheinlichkeit, genau 8 Meter
> vorwärts zu gehen. Wenn er mehr als 8 Meter schafft, dann
> hat er sein Ziel jedoch auch erreicht. Und so meinte ich
> es, dass er mit 50%iger Wahrscheinlichkeit in 10 Schritten
> auf bzw. über die 8 Meter kommt.
Nein, da kommt trotzdem nicht genau 50% wahscheinlichkeit raus...
Gruß, Robert
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> Ein betrunkener Mann geht mit einer Wahrscheinlichkeit von
> 0,6 zwei Meter vorwärts und mit einer Wahrscheinlichkeit
> von 0,4 einen Meter rückwärts. Nach wie vielen Schritten
> wird er mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % um
> 10 km vorwärts gegangen sein?
Es kommt noch darauf an, wie viele Schritte der
Mann braucht, um zwei Meter vorwärts zu kommen
oder einen Meter zurück zu taumeln !
Und möglicherweise ist er entweder eingeschlafen
oder nicht mehr dermaßen betrunken, bevor er
10 Kilometer zurückgelegt hat.
Al-Chwarizmi
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> > Ein betrunkener Mann geht mit einer Wahrscheinlichkeit von
> > 0,6 zwei Meter vorwärts und mit einer Wahrscheinlichkeit
> > von 0,4 einen Meter rückwärts. Nach wie vielen Schritten
> > wird er mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % um
> > 10 km vorwärts gegangen sein?
>
>
> Es kommt noch darauf an, wie viele Schritte der
> Mann braucht, um zwei Meter vorwärts zu kommen
> oder einen Meter zurück zu taumeln !
>
> Und möglicherweise ist er entweder eingeschlafen
> oder nicht mehr dermaßen betrunken, bevor er
> 10 Kilometer zurückgelegt hat.
>
>
> Al-Chwarizmi
Hallo zusammen,
irgendwie frage ich mich, weshalb ich auf diesen
Einwurf noch keine Antwort bekommen habe.
Ist man wirklich einfach bereit, in Mathematik-
aufgaben Vorgaben von beliebigem Absurditäts-
grad entgegenzunehmen wie zum Beispiel das
Bild eines betrunkenen Mannes, der zwei Meter
lange Schritte vorwärts und ein Meter lange
Schritte rückwärts macht ?
Probiert das erst mal in nüchternem Zustand
aus !
Al-Chw.
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Hallo Al,
> Hallo zusammen,
>
> irgendwie frage ich mich, weshalb ich auf diesen
> Einwurf noch keine Antwort bekommen habe.
> Ist man wirklich einfach bereit, in Mathematik-
> aufgaben Vorgaben von beliebigem Absurditäts-
> grad entgegenzunehmen wie zum Beispiel das
> Bild eines betrunkenen Mannes, der zwei Meter
> lange Schritte vorwärts und ein Meter lange
> Schritte rückwärts macht ?
> Probiert das erst mal in nüchternem Zustand
> aus !
Das geht nicht in nüchternem Zustand, nur mit hinreichend viel ![[bier]](/images/smileys/bier.gif "[bier]") intus
Dann aber umso eleganter
*hicks*
Prost
schachuzipus
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welche Sorte trinkst du ?
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> Ist man wirklich einfach bereit, in Mathematik-
> aufgaben Vorgaben von beliebigem Absurditäts-
> grad entgegenzunehmen wie zum Beispiel das
> Bild eines betrunkenen Mannes, der zwei Meter
> lange Schritte vorwärts und ein Meter lange
> Schritte rückwärts macht ?
Mathe-Aufgaben sind oft sehr vereinfacht, und dadurch werden sie dann realitätsfremd.
Der Betrunkene könnte genau so gut in der Mitte eines 50 Meter mal 50 Meter großen Platzes stehen und in jeder Sekunde einen 50 Zentimeter großen Schritt in eine beliebige Richtung tun.
(Um die Torkelbewegungen realistisch darzustellen, könnte man noch Einschränkungen machen; z.B. dass die Richtung zwischen zwei Schritten um höchstens 30° abweichen darf).
Frage: Nach ungefähr welcher Zeit kommt er am Rand des Platzes an?
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