Bettenbelegung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 So 09.09.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Ein Hotel hat 218 Betten. Wieviele Reservierungen durch
eine Kongressleitung darf der Hotelmanager entgegennehmen, wenn erfahrungsgemäß eine Reservierung mit Wahrscheinlichkeit 0,2 annulliert wird? Die Hotelleitung nimmt dabei in Kauf, mit 2:5%-iger Wahrscheinlichkeit in Verlegenheit zu geraten.
Hinweis: Es gilt P(|Z| [mm] \ge [/mm] 1,96) = 0,05 für N(0,1)-verteiltes Z. |
Hallo Leute,
habe mal so begonnen:
P(0 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 218)= [mm] \phi(\bruch{218+0,5-0,8n}{\sqrt{0,8*0,2n}})-\phi(\bruch{0-0,5-0,8n}{\sqrt{0,8*0,2n}})=\phi(\bruch{218,55-0,8n}{0,4*\sqrt{n}})
[/mm]
Der hintere Teil fällt weg, da sehr nahe bei 0.
Dies ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass maximal 218 Betten belegt werden, und das ist ja gleich 1-0,025, sprich 0,975 ist die Wahrscheinlicheit, dass es maximal 218 werden und das Hotel nicht in Verlegenheit gerät.
[mm] \phi(\bruch{218,55-0,8n}{0,4*\sqrt{n}})=0,975
[/mm]
Ich weiß nur leider nicht, wie ich da nach n auflösen kann, habe mir sagen lassen, dass es etwas mit dem P(|Z| [mm] \ge [/mm] 1,96) = 0,05 zu tun hat, aber was genau sagt mir das?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Mo 10.09.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
du bist kurz vor dem ZieL:
[mm]\phi(\bruch{218,55-0,8n}{0,4*\sqrt{n}})=\phi(1,96)=0,975[/mm]
Hierdurch ist implizit eine quadratische Gleichung in [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] festgelegt ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Mo 10.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ich hatte mir sowas schon gedacht, sicherlich kann ich das mit einer Subtitution lösen. Nur warum gilt:
[mm] $\phi(\bruch{218,55-0,8n}{0,4\cdot{}\sqrt{n}})=\phi(1,96)$
[/mm]
Und wie steht das im Zusammenhang mit diesen 0,05?
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Hallo AntonK,
mir ist gar nicht klar, was du überhaupt in deinem ersten post treibst.
Was ist zB. die ZV [mm]X[/mm], die du da benutzt?
*Ich* würde das so ansetzen:
> Ich hatte mir sowas schon gedacht, sicherlich kann ich das
> mit einer Subtitution lösen. Nur warum gilt:
>
> [mm]\phi(\bruch{218,55-0,8n}{0,4\cdot{}\sqrt{n}})=\phi(1,96)[/mm]
>
> Und wie steht das im Zusammenhang mit diesen 0,05?
Das ist als Hilfe vorgegeben ...
Bezeichne mit [mm]X_1[/mm] diejenige ZV mit [mm]X_i=\begin{cases} 1, & \mbox{Reservierung wahrgenommen } \\
0, & \mbox{Annulierung } \end{cases}[/mm]
Dann [mm]X_i\sim B_{1;0,8}[/mm]
Weiter sei [mm]S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i[/mm], dann ist [mm]S_n\sim B_{n;0,8}[/mm]
Gesucht ist doch nun (und das verstehe ich an deinem ersten post nicht):
[mm]\underbrace{P(S_n>218)}_{\text{Wsk. für Überbuchung}} \ \le \ 0,025[/mm]
Nun umformen, dass du eine zentralisierte bzw. standardisierte ZV bekommst, um den ZGWS anwenden zu können.
[mm]P\left(\frac{S_n\red{-np}}{\red{\sqrt{np(1-p)}}}\ > \ \frac{218\red{-np}}{\red{\sqrt{np(1-p)}}}\right) \ \le \ 0,025[/mm]
Nach dem ZGWS ist [mm]P\left(\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \ > \ \frac{218-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) \ \approx \ P\left(Z \ > \ \frac{218-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)[/mm], wobei [mm]Z\sim N_{0,1}[/mm]
Das gilt es nun nach [mm]n[/mm] aufzulösen:
[mm]P\left(Z \ > \ \frac{218-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) \ \le \ 0,025[/mm]
Also [mm]1-\Phi\left(\frac{218-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) \ \le \ 0,025[/mm]
[mm]\Rightarrow \Phi\left(\frac{218-0,8n}{\sqrt{0,16n}}\right) \ \ge \ 0,975[/mm]
Das schaut man nun in einer Tabelle nach (suche mal den zu [mm]0,975[/mm] gehörigen Wert), wird so das [mm]\Phi[/mm] los und kann dann weiter nach [mm]n[/mm] auflösen ...
Du bekommst dann eine Schranke für [mm]n[/mm], also die Anzahl der Reservierungen, die die Hotelleitung annehmen kann, ohne in Verlegenheit zu geraten ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Mo 10.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ich weiß nicht, wie ich das in der Tabelle nachschauen soll, da n ja unbekannt ist.
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Hallo nochmal,
> Ich weiß nicht, wie ich das in der Tabelle nachschauen
> soll, da n ja unbekannt ist.
Das n sollst du ja auch nicht nachschauen.
Gucke mal auf wikipedia oder wo auch immer in die Tabelle der Standardnormalverteilung.
Suche in der Tabelle den Wert $0,975$
Diesen Wert nimmt [mm] $\Phi$ [/mm] für $z=1,96$ an.
Findest du das in der Tabelle?
Damit kannst du die letzte Ungleichung in der anderen Antwort auflösen ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Mo 10.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Hm, ich sehe da bei 0,95 die 1,96, das sind also 2,5% auf beiden Seiten, sprich die 1,96 zählt für mich auch, alles klar, danke, habe es nun!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Mo 10.09.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ich hatte mir sowas schon gedacht, sicherlich kann ich das
> mit einer Subtitution lösen. Nur warum gilt:
>
> [mm]\phi(\bruch{218,55-0,8n}{0,4\cdot{}\sqrt{n}})=\phi(1,96)[/mm]
>
> Und wie steht das im Zusammenhang mit diesen 0,05?
>
>
Der Hinweis besagt [mm] $P(|Z|\ge [/mm] 1.96)=0.05$, also gilt [mm] $P(Z\ge [/mm] 1.96)=0.025$ ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mo 10.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Was ist denn |Z|, das hat sicherlich etwas mit der Glockenkurve zu tun, aber ich verstehe das gerade nicht.
Edit: Ich sehe gerade in Wikipedia:
95 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens [mm] 1,960\sigma [/mm] vom Mittelwert
Das heißt bei meinen 2,5% ist |Z| die beiden 2,5% auf den Seiten, sprich 5%, deswegen 1,96.
Wieso spielt das Sigma bei mir keine Rolle?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Mo 10.09.2012 | | Autor: | luis52 |
> Was ist denn |Z|, das hat sicherlich etwas mit der
> Glockenkurve zu tun, aber ich verstehe das gerade nicht.
$|Z|_$ ist der Betrag von $Z_$, eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Du kannst demnach die Gleichung [mm] $P(|Z|\ge1.96)=0.05$ [/mm] lesen wie [mm] $P(Z\le-1.96\text{ oder } [/mm] 1.96 [mm] \le [/mm] Z)=0.05$.
>
>
> Edit: Ich sehe gerade in Wikipedia:
>
> 95 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens
> [mm]1,960\sigma[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
vom Mittelwert
>
> Das heißt bei meinen 2,5% ist |Z| die beiden 2,5% auf den
> Seiten, sprich 5%, deswegen 1,96.
Ja.
>
> Wieso spielt das Sigma bei mir keine Rolle?
Tut es doch: $\operatorname{Var}[X]=np(1-p)$. Die Standardisierung von $X_$, also
$\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}$
darfst du dann approximativ so behandeln wie $Z_$, also als waere der Quotient standardnormalverteilt, was du ja auch tust.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Mo 10.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Verstanden, danke!
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