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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Di 17.03.2009 | | Autor: | tobbeu |
In der Beugungstheorie heißt es bzgl des Einfachspalts, dass die optische Übertragung einem Tiefpassverhalten folgt.
Wenn für die Feldverteilung hinter einer Anfangsverteilung, wie einem Einfachspalt gilt:
[mm] u(x,y,z)=\integral{d\alpha}\integral{d\beta}\overline{u}_{0}(\alpha, \beta) e^{i\alpha x}e^{i\beta y}e^{i\sqrt{k²-\alpha²-\beta²}z}
[/mm]
Wobei z die Ausbreitungsrichtung, und [mm] \alpha, \beta [/mm] und [mm] \gamma=\sqrt{k²-\alpha²-\beta²} [/mm] die Komponenten des Wellenzahlvektors, und [mm] \overline{u}_{0}(\alpha, \beta) [/mm] die Amplitude der geneigten Welle, bzw. die Fouriertransformierte der Anfangsverteilung.
Sprich diejenigen geneigten Wellen, für die [mm] \alpha² [/mm] + [mm] \beta² [/mm] > k² gilt fallen evaneszent ab.
Bedeutet Tiefpassverhalten hier, dass räumlich hochfrequente Strukturen, wie der Rand eines Einfachspaltes weit nach außen gebeugt werden, und damit obige Bediungung erfüllt ist?
Das kann ich nicht nachvollziehen, denn schickt man Licht durch einen Einfachspalt, werden gerade die langen Wellenlängen weit nach außen gebeugt, nicht die kurzen.
Im Gegensatz dazu gibts ja den 4f-Aufbau, der eine Fraunhofer Beugung durchführt.
Hier sind Linsen im Spiel, die tatsächlich hochfrequente Strukturen weit nach außen beugen. Hier ist ein Tiefpassfilter eine Lochblende, die nur langwellige, zentrale Strahlen durchlässt.
Nun verstehe ich aber den Zusammenhang nicht, da in vielen Büchern das folgende Argument auftaucht: Bei einer Abbildung eines sagen wir Einfachspaltes per 4f-Aufbau, sieht man in der Fourier- /Brennebene die Fouriertransformierte. Genau, wie man die Fouriertransformierte der Anfangsverteilung des Einfachspaltes in Fraunhofernäherung in großer Entfernung zur Anfangsverteilung sieht.
Bei zweiterem werden aber doch hochfrequente Strukturen weniger stark gebeugt als bei ersterem durch Linsen!?
In der Literatur kommt es so rüber, als wären beide Fälle gleichberechtigt, da eine Linse auch eine FT durchführt. Hiermit könne man also die Fraunhofer Näherung ebenfalls anwenden, braucht aber weitaus weniger Ausbreitungslänge als ohne Linsen.
Vielen Dank für jegliche Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Di 17.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
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> [mm]u(x,y,z)=\integral{d\alpha}\integral{d\beta}\overline{u}_{0}(\alpha, \beta) e^{i\alpha x}e^{i\beta y}e^{i\sqrt{k²-\alpha²-\beta²}z}[/mm]
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> Wobei z die Ausbreitungsrichtung, und [mm]\alpha, \beta[/mm] und
> [mm]\gamma=\sqrt{k²-\alpha²-\beta²}[/mm] die Komponenten des
> Wellenzahlvektors, und [mm]\overline{u}_{0}(\alpha, \beta)[/mm] die
> Amplitude der geneigten Welle, bzw. die
> Fouriertransformierte der Anfangsverteilung.
>
> Sprich diejenigen geneigten Wellen, für die [mm]\alpha²[/mm] +
> [mm]\beta²[/mm] > k² gilt fallen evaneszent ab.
Genau. Denn da wird deine Wurzel imaginär. Weil man ja aber schon ein $i$ vor der Wurzel stehen hat, fällt die Schwingung weg, es fällt exponentiell ab.
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> Bedeutet Tiefpassverhalten hier, dass räumlich
> hochfrequente Strukturen, wie der Rand eines Einfachspaltes
> weit nach außen gebeugt werden, und damit obige Bediungung
> erfüllt ist?
Nein. Also: Wenn man zB ein zeitliches Signal Fouriertransformiert (FT), dann ist die FT ja eine Funktion von [mm] $\omega$, [/mm] also der "Frequenz". Wenn man das jetzt dredimensional macht, bekommt man eine Funktion von [mm] $\alpha$, $\beta$ [/mm] und [mm] $\gamma$ [/mm] raus, wobei [mm] $\gamma=\sqrt{k^2-\alpha^2-\beta^2}$ [/mm] ist.
Jetzt sieht man ja, dass die Konfigurationen von [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] gedämpft werden, für die [mm] $\alpha^2+\beta^2>k^2$ [/mm] gilt. Mit dem "Tiefpass" meint man dann, dass diese hohen Frequenzen [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] gedämpft werden, und diese in weiter Entfernung deines Spaltes nicht mehr sichtbar sind. Deshalb ist das ein Tiefpass.
Die [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] haben zuerst übrigens auch noch keinen Zusammenhang mit dem k-Vektor.
> Das kann ich nicht nachvollziehen, denn schickt man Licht
> durch einen Einfachspalt, werden gerade die langen
> Wellenlängen weit nach außen gebeugt, nicht die kurzen.
Genau, da [mm] $\sin\varphi=\frac{(2n+1)\lambda}{2d}$ [/mm] für Maxima am Einfachspalt gilt, also in Kleinwinkelnäherung [mm] $\varphi\propto \lambda$.
[/mm]
>
> Im Gegensatz dazu gibts ja den 4f-Aufbau, der eine
> Fraunhofer Beugung durchführt.
> Hier sind Linsen im Spiel, die tatsächlich hochfrequente
> Strukturen weit nach außen beugen. Hier ist ein
> Tiefpassfilter eine Lochblende, die nur langwellige,
> zentrale Strahlen durchlässt.
>
> Nun verstehe ich aber den Zusammenhang nicht, da in vielen
> Büchern das folgende Argument auftaucht: Bei einer
> Abbildung eines sagen wir Einfachspaltes per 4f-Aufbau,
> sieht man in der Fourier- /Brennebene die
> Fouriertransformierte. Genau, wie man die
> Fouriertransformierte der Anfangsverteilung des
> Einfachspaltes in Fraunhofernäherung in großer Entfernung
> zur Anfangsverteilung sieht.
>
> Bei zweiterem werden aber doch hochfrequente Strukturen
> weniger stark gebeugt als bei ersterem durch Linsen!?
>
> In der Literatur kommt es so rüber, als wären beide Fälle
> gleichberechtigt, da eine Linse auch eine FT durchführt.
> Hiermit könne man also die Fraunhofer Näherung ebenfalls
> anwenden, braucht aber weitaus weniger Ausbreitungslänge
> als ohne Linsen.
>
Mit dem 4f Aufbau meint man folgendes: Wenn man ein Objekt im Abstand f vor einer LInse hat, dann sieht man von diesem Objekt in der Brennebene deiner Linse die FT deines Bildes. Wenn man jetzt eine Lochblende in diese Ebene stellt, dann lässt man ja entweder nur die Anteile durch, für die [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] klein sind. Also lässt man nur die Tiefen Frequenzen durch, also Tiefpass. Hält man in die Brennebene das Inverse einer Lochblende, so lässt man nur die "hohen" Frequenzen durch. Die "hohen" Frequenzen liegen also in der Brenneben weiter "außen".
Das sind eigentlich zwei paar Schuhe, nur dass die beiden eigentlich das selbe machen: Bei der Fraunhofer-Beugung, wo man sich das Beugungsbild im weiten Abstand anguckt, dämpfen sich alle [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$-Konfigurationen [/mm] weg, für die [mm] $\alpha^2+\beta^2>k^2$ [/mm] gilt. D.h. man sieht hinten nur die Konfigurationen, für die die Schiwngung noch da ist. Und weil der Hauptanteil hinten der ist, wo [mm] $\alpha=kx/z$ [/mm] gilt, setzt man in die FT auch genau für das [mm] $\alpha$ [/mm] $kx/z$ ein.
Wenn man jetzt aber einen 4f-Aufbau hat, dann ist in der Brennebene eine FT deines Bildes. Hält man jetzt eine Lochblende rein, blendet man die großen [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] aus, d.h. die "hohen" Frequenzen, entsprechend also ein Tiefpass. Schaut man sich hinter der zweiten Linse das Bild nochmal an, sieht man, wen man nur die hohen Frequnzen durchlässt, ein Kantiges Bild, bei Tiefpass eintsprechend Weichgezeichnetes bild. So funktionieren u.a. auch die Weichzeichner im Computerproramm.
LG
Kroni
> Vielen Dank für jegliche Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Di 17.03.2009 | | Autor: | tobbeu |
Danke!
Ja genau so ist es mir auch bekannt!
Aber ich denke, man kann hier schon vom Prinzip her sagen, dass man eben keine FT vom Zeit- in den Frequenzraum macht, sondern vom Ortsraum in den Raum der geneigten Welle hinter einem Spalt zB.
Dann kann man sich die Gestalt der obigen Formel mit [mm] \alpha, \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] auch besser klarmachen.
Welche Frage trotzdem noch offen ist.
Die Fraunhofer Näherung hast du ja schon detailierter beschrieben. Nun ist es ja das selbe zu sagen, ich "sehe" die Fouriertransformierte der Anfangsverteilung in großen Abständen zum Spalt, also für z >> [mm] z_0 [/mm] , wobei [mm] z_0 [/mm] die Breite des Spalten enthält, oder aber ich sehe die Fouriertransformierte in der Fourier- /Brennebene des 4f Aufbaus.
Der 4f Aufbau ermöglicht die selbe Fraunhofer Näherung, nur eben durch den Einsatz einer Linse, die die FT ausführt, nach wesentlich kürzeren Abständen als im ersten Fall.
Aber das sind beides gegensätzliche Situationen! Beim 4f Aufbau kann man wie du schon sagtest das Bild in der Brennebene manipulieren.
Nur ist beim 4f Aufbau hinter der linse die Kanteninformation, also eine kurze Wellenlänge weit außen in der Fourierebene, hinterm normalen Spalt eben weiter im Zentrum. Das sind zwei gegensätzliche Dinge.
Was ich mir versuche einzubilden ist, dass das nicht sein kann, aber vielleicht ist es genau so, und ich mach mir nur unnötig Probleme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Kroni |
> Danke!
Hi,
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> Die Fraunhofer Näherung hast du ja schon detailierter
> beschrieben. Nun ist es ja das selbe zu sagen, ich "sehe"
> die Fouriertransformierte der Anfangsverteilung in großen
> Abständen zum Spalt, also für z >> [mm]z_0[/mm] , wobei [mm]z_0[/mm] die
> Breite des Spalten enthält, oder aber ich sehe die
> Fouriertransformierte in der Fourier- /Brennebene des 4f
> Aufbaus.
Ja.
> Der 4f Aufbau ermöglicht die selbe Fraunhofer Näherung, nur
> eben durch den Einsatz einer Linse, die die FT ausführt,
> nach wesentlich kürzeren Abständen als im ersten Fall.
Genau. Deshalb packt man ja eine Linse hin, um dann in der Brennebene die FT zu sehen, halt nur mit [mm] $\alpha={kx}{f}$, [/mm] weil z dann der Abstand ist, der gleich der Brennweite f ist.
>
> Aber das sind beides gegensätzliche Situationen!
> Beim 4f
> Aufbau kann man wie du schon sagtest das Bild in der
> Brennebene manipulieren.
Genau.
> Nur ist beim 4f Aufbau hinter der linse die
> Kanteninformation, also eine kurze Wellenlänge weit außen
> in der Fourierebene,
Und: Außen sind die "hohen" Frequenzen, innen die "kleinen". Wie kommst du darauf, dass die kurzen "Wellenlängen" weit außen seien?
Ich denke, dass da dein Problem liegt.
Am Spalt werden die großen Wellenlängen nach außen gebeugt. Und in der 2D-FT liegen die "hohen" Raumfrequenzen auch weiter außen, von daher sollte das passen.
LG
Kroni
>hinterm normalen Spalt eben weiter im
> Zentrum. Das sind zwei gegensätzliche Dinge.
> Was ich mir versuche einzubilden ist, dass das nicht sein
> kann, aber vielleicht ist es genau so, und ich mach mir nur
> unnötig Probleme?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mi 18.03.2009 | | Autor: | tobbeu |
> Und: Außen sind die "hohen" Frequenzen, innen die
> "kleinen". Wie kommst du darauf, dass die kurzen
> "Wellenlängen" weit außen seien?
>
> Ich denke, dass da dein Problem liegt.
Nein, hohe Frequenz = kurze Wellenlänge, da [mm] c=f*\lambda
[/mm]
Somit hast du mein Problem oben genau wiedergegeben ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Ortsfrequenzen, bzw der Ortsfrequenzraum mit [mm] $\alpha$ $\beta$ [/mm] und [mm] $\gamma$ [/mm] hat nichts mit der Frequenze [mm] $\nu=\frac{c}{\lambda}$ [/mm] deiner Welle zu tun!
Deshalb kannst du aus den hohen Ortsfrequenzen nichts über die Wellenlänge sagen, da die [mm] $\alpha$ [/mm] etc. nichts mit deinem [mm] $\nu$ [/mm] zu tun haben. Das sind zwei verschiedene paar Schuhe.
Deshalb ist dein Problem eigentlich keines.
LG
Kroni
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